nový předmět... Předměty MIB

Vše co není uvedeno jinde

nový předmět... Předměty MIB

Příspěvekod amorphus » 12. 1. 2007 19:21

abych tam mohl psát zadání zkoušek..
Uživatelský avatar
amorphus
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 8
Registrován: 29. 5. 2006 13:04
Bydliště: Poděbrady

Úvod do algebry 12.1.2006

Příspěvekod amorphus » 12. 1. 2007 19:48

Zatím to napíšu sem:
zadání zkoušky Úvodu do algebry se Stanovským:

nejdřív je písemný test s 15 otázkama - definice, věty, pár příkladů. Na postup je potřeba 10 nebo 11 bodů (nepamatuju se, myslím že 11), čtyřka je za míň jak 7,5. Všechny otázky si už asi nepamatuju, ale bylo tam:

1. Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení. (Vyplatí se nezapomenut na předpoklad, že ty množiny jsou konečný)
2. Definujte podalgebru algebry A generovanou množinou X.
3. Definujte podokruh a ideál a hlavní ideál.
4. Definujte grupu Zn*.
5. Definujte faktorokruh okruhu R podle ideálu I.
6. Která z následujících tvrzení platí (a proč):
a)Rozšíření koneč. stupně je algebraické.
b)Algebraické rozšíření je konečného stupně.
c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.
d)Rozšíření o transcendentní prvek může být konečné.
7. Charakterizujte cyklické grupy (takový to že jsou izomorfní Z nebo Zn).
8. Definujte n-násobný kořen polynomu p.
9. Jaký je řád prvku 2 v Z63? (2^6=64=1 mod 63)
10. Může mít neabelovská grupa abelovskou fakrotgrupu? (ano, třeba Sn/An je izomorfní Z2)
11. Je 5 ze Z[x] invertibilní? (ne)
12. Je (třetí odmocnina z 5 - druhá odmocnina z 2) algebraická nad Q? Proč? (ano, je prvkem Q(třetí odm. z 5, 2. odm. z 2), což je algebraické rozšíření)
13. Jaký je minimální polynom prvku i/2 nad Q? (x+1/4)
14. Napište základní větu aritmetiky.
a ten poslední fakt nevím

No a pak si člověk vylosuje papírek s dalšíma třema otázkama, já měl:
1) {px + 3q; p, q z R[x]}. Je to a) ideál, b) hlavní ideál, c) maximální ideál, pokud R= 1) Z, 2) Q?

je jasný že je to v obou případech ideál. Je to celý Q[x], čili hlavní ideál v Q[x], ale ne maximální - ten je z definice vlastní podmnožina. V Z[x] je to maximální ideál, protože jsou tam všechny polynomy s abs. členem dělit. třema a kdybysme přidali polynomy s abs. členem jiným, tak to už bude celý Z[x] (prý). A hlavní ideál to není, protože např. 3 a x tam leží ale nemají společný dělitele.

2) Rozklady grup, Lagrangeova věta

3) Důkaz existence kořenového a rozkladového nadtělěsa. (Pak se mě ještě ve stručnosti zeptal na důkaz jednoznačnosti kořenovýho nadtělesa.)
Uživatelský avatar
amorphus
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 8
Registrován: 29. 5. 2006 13:04
Bydliště: Poděbrady

Úvod do algebry

Příspěvekod Gorak » 16. 1. 2007 14:28

Tak tedy zkouška z 15.1. Úvodu do algebry s (RNDr.) D. Stanovským -
jak už bylo řečeno Zk se skládá z písemné části, kde je třeba získat 10 bodů z 15ti (já proklouzl s 10 :wink: ), nad 7,5b si nevyplýtváváte pokus, na ústní to pak už přesně definované není, ale řekl bych, že pokud to tam úpně 'nezkoníte', tak aspoň za 3 to bude...
Každý si vylosuje/dostane svoje zadání (na písemné i ústní)

Ja na ústní měl:
1) Zjistit všechny normální podgrupy grupy D_8 (dihedrální grupa všech symetrií 4-úhelníka :? )
2)Obory integrity - definice, příklady, př. konečných, (dokázat) krácení; podílové těleso
3)dokázat, že (Z_p)* je cyklická

1)tam jsem docela plaval, ale nakonec řekl, že to jde čistě přes vypsání všech podgrup a zjištění, které jsou normální (pravý/levý rozklad podle norm. podgr. je stejný); k tomu mi pak poradil, že normální je <=> uzavřená na konjugace + konjugace zachovává strukturu permutace (stejné délky cyklů)
2)tam není moc co vymýšlet, ale platí něco jako že konečné OI jsou polynomy nad tělesy (tak nějak), což jsem moc neukázal...; podílové těleso jsem docela odvodil z toho, že chceme k OI přidat inverzy vůči násobení - tam mi taky občas ale chybělo něco dokázat
3)nám ukazoval takový důkaz přes Exp(onent) grupy, jak jsou k němu potřeba tři lemmata...já ukázal ten postup, s důkazem Lemmatu(č.3) jsem začal, ale já sotva udělal první krok (přes spor)...pak mi sám řekl, že si to moc přesně nepamatuje; myslím, že by stačilo udělat dk. s předpokladem platnosti tohoto Lemmatu a naznačit dk. Lemmatu...

písemná:
1)def. Euler. fci a napsat Euler. větu
2)Homo dvou algeber (typu (1,0))
3)def. obor integrity
4)translace abel. grup a zákl. vlastnosti (je to permutace + lze dodef. unární operaci)
5)algoritmus výpočtu řešení difrenční rovnice
6)posledni dve cifry 11^441
7)najít kořenové nadtěleso pnomu x^3-x^2+2x-2 z Q[x]
8)kolik stabilizátorů má působení grupy D_12 na pravidelný šestiúhelník
9)rozklad grupy G podle normální podgrupy H
10)určit pravdivé výroky - a)algebr. rozšíření je konečného stupně; b)rozšíření konečného stupně je algebr.; c)T(a), kde a je algebraické nad T, je konečného stupně.; d)rozšíčení o transcendentní prvek může být konečného stupně
11)def. ireducibilní prvek
12)existuje v 73-prvkové grupě prvek řádu 11? Pokud ano - příklad grupy a prvku; Ne - zdůvodnit
13)Charakterizujte cyklické grupy (izomorfní Z nebo Zn)
14) Formulujte Burnsideovu větu, pečlivě vysvětlete značení (předpoklad - množiny jsou konečné!)
víc si toho už nepamatuji... :(

na závěr: vzhledem k tomu, že každý má své zadání a na konci si je bere zpět - pravděpodobně verzí zadání pís./úst. částí je dané množství a z toho si taháte...; když projdete písemnou, napněte (zbytky) síly - už jste krok od získání Zk :wink:
všem hodně štěstí...
P.S.: Veškerá tvrzení ohledně samotné látky, co jsem tady uvedl si raděj prosím ověřte, je možné, že jsem někde něco popletl...
Gorak
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 5
Registrován: 16. 1. 2007 13:08

Uvod do algebry

Příspěvekod n-droo » 29. 1. 2007 17:45

Dostal jsem otazky docela podobne tem, jake zde jiz jsou napsany. Pisu proto jen ty, ktere zde jeste nezaznely:
1) definujte homomorfismus grup, jadro a obraz homomorfismu
2) najdete vsechny podgrupy Z_6* [je dvouprvkova takze ma jenom nevlastni podgrupy]
3) definujte algebru a typ algebry
4) pusobi-li na sestiuhelnik grupa D_12, jaka je velikost stabilizatoru libovolneho bodu toho sestiuhelniku [je dvouprvkovy: id a preklopeni podle osy, ktera tim bodem prochazi]
5) definujte linearni homogenni diferencni rovnici s konstantnimi koeficienty, charakteristicky polynom a pocatecni podminky.
6) necht S je nadokruh okruhu R, definujte R[a_1,a_2,...,a_n], kde a_i jsou z S, popiste vyjadreni prvku z R[a_1,a_2,...,a_n] pomoci polynomu.
Dostal jsem take zneni Burnsideovy vety a peclive vysvetlit znaceni, zda se ze je to hodne popularni.
Na zaver jedna dobra zprava: kdyz to napisete na plny pocet bodu tak uz nemusite na ustni.
n-droo
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 3
Registrován: 8. 6. 2006 20:50


Zpět na Ostatní

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník