Zk. 19.1.2010

[Jindra]

Hm, teď jsem zjistil zajímavou věc. Pokud u těch bažantů počítáme s variantou, kde pro n=2, p=1/2 má vyjít 1, pak se ten obecnej vzorec dá zjednodušit na n*p

Ještě si něco přihodim k té úloze s bažantama. Z tý tabulky pravděpodobností plyne, že počet zabitých bažantů se řídí binomickým rozdělením Bi(10, p), takže počet přeživších bažantů, jestli se nepletu, by se měl řídit Bi(10, 1 - p), z čehož plyne, že střední hodnota počtu přeživších bažantů je EX = 10 * (1 - p). Což dává i tak trochu smysl, protože kdyby se lovci trefili na 30 procent, střední hodnota zabitejch bažantů by bylo 3 a přeživších 7, a kdyby se myslivci trefovali na 50 procent, stř. hodnota zabitejch/přeživších bažantů bude taky polovina z jejich počtu.. (tady nám hraje do noty, že bažantů je stejně jako lovců. jinak by to nefungovalo.)

Tohle už jsem psal, můžeš tu jednoduchost zobecnit a zůstane to jednoduše n * (1 - p).

[hroh]

3. 10 stejnych uren, v deviti jsou dve bile a dve cerne a v jedne je 5 bilych a 1 cerna. Vytahneme bilou kouli, jaka je pravdepodobnost. ze byla z te s 5 bilymi koulemi?

Toto je samozrejme na podminenou pravdepodobnost. Oznacime jev, ze byla vytazena bila koule, jako B. Cerna jako C. Jev, ze byla zvolena urna s 5 bilymi, jako S (specialni). Normalni urna bude N. Nyni:
P(S|B) = p(S & B) / P(B)
i) Urcime nosnou mnozinu prostoru:
Omega = 9 x { (N, B), (N, B), (N, C), (N, C) } + 1 x { (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, B), (S, C) }
Kde (x, y) je elementarni jev znacici vytazeni barvy y z urny typu x.
|Omega| = 9*4 + 1*6 = 42
ii) P(B) = (9*2 + 1*5) / 42 = 23/42 // 23 ~ pocet prvku z omegy tvaru (_, B)
iii) P(S & B) = 5 / 42 // 5 ~ pocet prvku z omegy tvaru (S, B)

Nakonec P(S|B)=5/23

Jak jsi přišel na to, že P(B) = (9*2 + 1*5)/42? Podle mě nemůžeš vzít #bílých / #všech, když to, že vytáhneš bílou se ti u různých uren liší. Kdybys měl v 9 urnách dvě černé a žádnou bílou a v 1 urně 23 bílých a 1 černou, počítal bys to taky tak, že P(B) = (9*0 + 1*23)/42? Přičemž bystří vidí, že v "mém" příkladě je P(B) = 23/24 * 1/10.
Podle mě je správně výsledek v prvním příspěvku 5/32, a to použitím Bayersovy věty. P(bílá|urna s 5)*P(urna s 5) / SUMA(P(bílá|i-tá urna)*P(i-tá urna)) = (5/6 * 1/10) / (9* 1/2 * 1/10 + 5/6 * 1/10) = 5/32

[simoD]

Mám strhnuty 2 body, možná je to za úlohu s bažantama/zajícema a možná taky ne. Každopádně tady je řešení, které jsem napsal do písemky (zhruba v této podobě).

Kód: Vybrat vše

Y_1 ... Y_n ~ Alt(p/n),  Y_k = 1 indikuje, žá k-tý lovec si vybral 1. zajíce a zasáhl ho
Y - náhodná veličina říkající, kolik 1. zajíc dostal zásahů
    tedy Y = sum(Y_k)
    => Y ~ Bi(n, p/n)

Pravděpodobnost, že 1. zajíc zemře je:
    P[Y >= 0] = 1 - P[Y = 0] = 1 - C(n, 0) * (p/n)^0 * (1 - p/n)^n = 1 - (1 - p/n)^n 
    to můžeme pro velká n aproximovat jako 1 - e^(-p)

X_1 ... X_n ~ Alt(1 - e^(-p)),  X_k = 1 pokud k-tý zajíc zemře
X - náhodná veličina říkající, kolik zemřelo zajíců
    tedy X = sum(X_k)
    => X ~ Bi(n, 1 - e^(-p))
    => EX = n - n*e^(-p)

A tedy výsledek je n - n*e^(-p)

Stejné řešení je v "Kapitoly z diskrétní matematiky" od Matouška str.304. (Příklad 10.3.3 Počet živých zajíců)
Bez záruky postup výpočtu, který vychází z vlastností střední hodnoty:
X - NV počet přeživších bažantů
Ai - NV i-tý bažant přežije

Klíčový vztah je:


Teď zbývá vypočítat

Pravděpodobnost, že j-tý lovec si vybere i-tého bažanta je 1/n a že se trefí je p. Všichni střelci si vybírají nezávisle tedy
P(Ai) = (1- p/n)^n (t.j. pravděpodobnost že i-tý bažant přežije). Zbývá dosadit do vztahu a vyjde to.


Y- NV počet střelených bažantů