Příklad 1. (13 bodů) Adam a Blanka si vymysleli sázku. V krabici je 10 bílých a 5 černých koulí. Adam z nich náhodně vybere 3 a vloží je (bez podívání na barvu) do osudí. Blanka má z osudí vytáhnout jednu kouli. Pokud bude bílá vyhrává Blanka a Adam ji dá 100 Kč.
- Kolik má být sázka spravedlivá pro Blanku, tedy částka, kterou má Blanka vsadit, aby její střední výhra byla 0?
- Blanka dostane možnost 30 krát vytáhnout a opět vrátit jednu kouli, přičemž se může podívat na barvu. Jak by mohla Blanka odhadnout, jakou má pravděpodobnost vytažení bílé koule?
- Jaké je rozdělení Blančiny výhry?
- S jakou pravděpodobností máme takové štěstí, že ve 100 krabicích je méně než 855 vadných výrobků?
- Jaká je střední hodnota a rozptyl bezvadných výrobků v krabici?
- Kolik krabic bychom si měli koupit, abychom s pravděpodobností alespoň 0,9 měli nejméně 8000 bezvadných výrobků?
Příklad 4. (7 bodů) Máme náhodný výběr z rovnoměrného na intervalu rozdělení. Odhadněte parametr momentovou metodou funkcí pro každé přirozené . Vyšetřete vlastnosti takových odhadů.
Za každý příklad lze získat určený počet bodů, celkem 40.
Oddělujte, prosím, zřetelně jednotlivé otázky a jejich podotázky. Výsledky přehledně zapište. Podepiště všechny odevzdané papíry a vyznačte jejich počet.