[NMAI059] PaSt – záp. písemka – Nagy/Hudecová – 19.12.2018

Zavedení základních pojmů a metod teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky a příklady jejich aplikací. Jedná se zejména o pojem pravděpodobnosti, náhodné veličiny a jejího rozdělení, nezávislosti, náhodného výběru a jeho popisných charakteristik, konstrukci odhadů, testování hypotéz, náhodné generátory. Důraz je kladen na praktické použití metod s využitím dostupného statistického software.
Uživatelský avatar
awk
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 56
Registrován: 21. 5. 2018 18:54
Typ studia: Informatika Bc.

[NMAI059] PaSt – záp. písemka – Nagy/Hudecová – 19.12.2018

Příspěvek od awk »

Varianta B dnešní zápočtové písemky:
(Pro úspešné napsání je potřeba získat alespoň 10 bodů)

Příklad 1. (6 bodů) V ledničce máme pět syrových a dvě uvařená vajíčka. Náhodně vybereme tři vajíčka a ty dáme na 10 minut vařit (čímž se syrová vajíčka uvaří) a pak je na noc uložíme zpět do ledničky.
  1. Označme X počet syrových vajíček v ledničce. Určete rozdělení a střední hodnotu X
  2. Ráno vybereme z ledničky náhodně jedno vajíčko a to je uvařené. S jakou pravděpodobností zbývají v ledničce právě dvě uvařená vajíčka?
  3. Označme jako Y počet uvařených vajíček, které jsme dali vařit. Rozhodněte, zda jsou X a Y nezávislé. Řádně zdůvodněte.
Příklad 2. (5 bodů) Pan Karel je nadšený cyklista a na kolo vyráží každý den bez ohledu na počasí. Lze předpokládat, že vzdálenosti jím ujeté v jednotlivé dny jsou navzájem nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 30 km a směrodatnou odchylkou 10 km.
  1. Pan Karel se vsadil s manželkou, že za měsíc (30 dní) ujede na kole více než tisíc kilometrů. S jakou pravděpodobností pan Karel tuto sázku vyhraje?
  2. Pomozte panu Karlovi modifikovat výše uvedenou měsíční sázku tak, aby pravděpodobnost, že sázku vyhraje manželka, byla menší než 5%.
Příklad 3. (5 bodů) Předpokládejme, že doba čekání ve frontě na poště (v hodinách) je náhodná veličina s hustotou
f(x) = \begin{cases} b(2 - \sqrt{x}) & x \in [0,4], \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}
  1. Nalezněte b > 0 tak, aby f byla hustota.
  2. Na poště již aktuálně čekáte 1 hodinu a stále ještě nejste na řadě. S jakou pravděpodobností budete muset čekat ještě víc než další jednu hodinu?
  3. Spočtěte střední dobu čekání na poště.
Příklad 4. (4 bodů) Ze zkušenosti víme, že počet potřebných opravných termínů jednoho studenta na zkoušce z Pravděpodobnosti a statistiky je náhodná veličina s rozdělením
\mathrm{P}(X = 0) = p^2, \quad \mathrm{P}(X=1) = 2p(1-p), \quad \mathrm{P}(X = 2) = \left(1 - p\right)^2
kde p \in (0,1) je neznámý parametr. Předpokládejme, že počty opravných termínů jednotlivých studentů jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny X_1,\ldots,X_n.
  1. Odhadněte p momentovou metodou.
  2. Rozhodněte, zda je odhad z a. nestranný a konzistentní.
  3. Pro 25 studentů jsme napozorovali celkem 15 opravných termínů dohromady. Vyčíslete pro tato data odhad z a. a navrhněte odhad pravděpodobnosti, s jakou náhodně vybraný student potřebuje dva opravné termíny.

Vybrané hodnoty distribuční a kvantilové funkce normovaného normální rozdělení přiloženy.
Odpovědět

Zpět na „MAI059 Pravděpodobnost a statistika“