[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 2. 2018
Napsal: 14. 2. 2018 16:33
Příklad 1 (7 bodů). Martina si hodí pravidelnou kostkou. Podle výsledku si poté vezme symetrických mincí, kde pokud , pokud a pokud .
(a) Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
(b) Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
(c)* Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?
Příklad 2 (7 bodů).
(a) Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
(b) Dokažte tuto větu.
(c) V misce je nevyčerpatelné množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
(d)* Dá se něco říci o případě, kdy máme příchuití, zákazníků a ?
Příklad 3 (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností vyhrát sto tisíc korun.
(a) Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(b) S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(c) Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).
Příklad 4 (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
, kde je nějaký neznámý parametr.
(a) Odhadněte parametr metodou momentů.
(b) Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.
Příklad 5 (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
(a) Vysvětlete, proč kovariance není vhodná míra závislosti a , zatímco korelace ano.
(b) Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti a ?
(c) Nechť a jsou stejně rozdělené náhodné veličiny, ne nutně nezávislé. Určete . Co z toho plyne?
Příklad 6 (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme znaků a označme počet znaků, které se přenosem změní.
(a) Buď pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou poděleno očekávaným počtem změněných znaků překročí pro nějaké kladné pevné .
(b) Pro jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.
Poznámky: K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň 20 bodů z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.
Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.
(a) Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
(b) Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
(c)* Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?
Příklad 2 (7 bodů).
(a) Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
(b) Dokažte tuto větu.
(c) V misce je nevyčerpatelné množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
(d)* Dá se něco říci o případě, kdy máme příchuití, zákazníků a ?
Příklad 3 (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností vyhrát sto tisíc korun.
(a) Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(b) S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(c) Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).
Příklad 4 (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
, kde je nějaký neznámý parametr.
(a) Odhadněte parametr metodou momentů.
(b) Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.
Příklad 5 (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
(a) Vysvětlete, proč kovariance není vhodná míra závislosti a , zatímco korelace ano.
(b) Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti a ?
(c) Nechť a jsou stejně rozdělené náhodné veličiny, ne nutně nezávislé. Určete . Co z toho plyne?
Příklad 6 (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme znaků a označme počet znaků, které se přenosem změní.
(a) Buď pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou poděleno očekávaným počtem změněných znaků překročí pro nějaké kladné pevné .
(b) Pro jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.
Poznámky: K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň 20 bodů z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.
Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.