[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018

Zavedení základních pojmů a metod teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky a příklady jejich aplikací. Jedná se zejména o pojem pravděpodobnosti, náhodné veličiny a jejího rozdělení, nezávislosti, náhodného výběru a jeho popisných charakteristik, konstrukci odhadů, testování hypotéz, náhodné generátory. Důraz je kladen na praktické použití metod s využitím dostupného statistického software.
Speedding
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 35
Registrován: 10. 1. 2017 19:32
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018

Příspěvek od Speedding »

Zadání dnešní zkoušky.
Přílohy
DSC_0569.JPG
Vilda
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 12
Registrován: 15. 1. 2018 15:02
Typ studia: Informatika Bc.

Re: [NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018

Příspěvek od Vilda »

Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.


1.
a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/6*1/6 + (2/6)^2*1/6 + ... = 1/4
b) 1/6+1/3*1/6+(1/3)^2*1/6 + ... = 1/4
c) 1/6*2 + 1/3*1/6*4 + (1/3)^2*1/6*6 + ..., given 1/4 = 3

2.
a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75

3.
a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
d) TODO

4.
a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) > 15/sqrt(8000*1/4*3/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) < -15/sqrt(8000*1/4*3/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo

5.
a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci

6.
a)
P[X,Y]:
[0,1] = [1,1] = 1/4
[0,2] = [2,2] = 1/16
[1,2] = 1/8
[0,3] = [3,3] = 1/32
[1,3] = [2,3] = 4/32
b)
E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5
vaclav.volhejn
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 6
Registrován: 17. 1. 2019 16:10
Typ studia: Informatika Bc.

Re: [NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018

Příspěvek od vaclav.volhejn »

Moje řešení:

1.
a) Není potřeba sčítat řadu; můžeme si napsat rekurenci pro pravděpodobnost, že Emil vyhraje (p_e):
p_e = \frac{1}{3}\Big( \frac{1}{2}*1 + \frac{1}{2}*0 \Big) + \frac{2}{3}\Big( \frac{1}{2}*p_e + \frac{1}{2}*0 \Big)
Členy po řadě vyjadřují tyto případy: E se strefí a D ne, E se strefí a D taky, E se nestrefí a D taky ne, E se nestrefí a D ano.
Vyřešíme a dostaneme p_e = \frac{1}{4}
b) Stejný koncept, jen koeficienty členů budou jinak. Nakonec ale stejně vyjde p_r = \frac{1}{4}
c) Opět postavíme rekurenci:
Eh_r = 2 + \frac{2}{3}\frac{1}{2}Eh_r
Jednou oba hodí a pak pokud se oba strefí (s pravděpodobností \frac{2}{3}\frac{1}{2}), tak házíme znova, čili musíme tuto p.st vynásobit Eh_r. V ostatních případech se znovu už nehází. Vyjde Eh_r = 3.

2.
a) skripta; \operatorname{var}X = \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)
b) Diskrétní: Označme S množinu hodnot X. Pak \operatorname{var}X = \sum_{a \in S} (a - \operatorname{E}X)^2 P[X = a]
Spojité: \operatorname{var}X = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \operatorname{E}X)^2 f(x) \, dx
c) vyjde \frac{35}{12} \approx 2.91

3.
a) \hat{p} = \frac{1}{n} \sum \chi[X_i > 2]
b) Plyne z nestrannosti a konzistentnosti empirické distribuční funkce, ale nevím, jestli Hlubinkovi tohle stačí.
c) Označme p=P[X>2]. Hledáme l a u takové, že nezávisí na p (jen na náhodných pokusech), a P[l \leq p \leq u] > 1 - \alpha.
Mějme náhodný výběr X_1 \ldots X_n a zaveďme Y_i = \chi[X_i > 2]. Pak Y_i mají Bernoulliho rozdělení s parametrem p. Použijeme CLV:
P\Big[ \Phi^{-1}\big(\frac{\alpha}{2}\big) \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(\overline{Y} - p) \leq \Phi^{-1}\big(1 - \frac{\alpha}{2}\big) \Big] \approx 1 - \alpha
Z toho bychom chtěli vyjádřit p. Pro stručnost jen pravá nerovnost. Označme d = \Phi^{-1}\big(1 - \frac{\alpha}{2}\big) upravíme na

P\Big[ \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(\overline{Y} - p) \leq d \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}
P\Big[ -d \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} Y_1}}(p - \overline{Y}) \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}
P\Big[ \overline{Y} - d\sqrt{\frac{\operatorname{var} Y_1}{n}} \leq p \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}
\operatorname{var} Y_1 ale neznáme, tak ho nahradíme výběrovým rozptylem (Sluckého věta nám to umožňuje)
P\Big[ \overline{Y} - d\sqrt{\frac{\overline{Y}(1-\overline{Y})}{n}} \leq p \Big] \approx 1 - \frac{\alpha}{2}

A máme dolní hranici intervalu. Podobně pro druhou.

4.
a) Použití CLV:
P[185 \leq n\overline{X}] = P\Big[\frac{185}{n} - p \leq \overline{X} - p\Big] = P \Big[ \frac{185}{n} - p \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} X}}(\overline{X} - p) \Big]
P \Big[ \frac{185}{n} - p \leq \sqrt{\frac{n}{\operatorname{var} X}}(\overline{X} - p) \Big] \rightarrow 1 - \Phi \Big(\frac{185}{n} - p \Big)
Dosadíme
b) Analogicky, ale pravděpodobnost máme danou a místo toho musíme najít číslo, které dosadíme na místo, kde je teď 185. Pak použijeme inverzní (kvantilovou) funkci.

5.
a)
P \big[ \lvert X - \operatorname{E}X \rvert > \epsilon \big] \leq \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}
Důkaz analogicky s Markovovou; rozepíšeme integrály. Předpokládejme BÚNO \operatorname{E}X = 0. Pak tedy
P \big[ X > \epsilon \big] \leq P \big[ \lvert X \rvert > \epsilon \big] \leq \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}
P \big[ X > \epsilon \big] = \int_{\epsilon}^{\infty} f(x) \, dx \leq P \big[ X > \epsilon \big] = \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{x^2}{\epsilon^2} f(x) \, dx
\int_{\epsilon}^{\infty} \frac{x^2}{\epsilon^2} f(x) \, dx \leq \frac{1}{\epsilon^2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \frac{\operatorname{var} X}{\epsilon^2}
b) skripta
c) skripta
d) konvergence v distribuci (skripta)

6.
a) přeskakuji
b) \frac{3}{2}

vychutnejte si retro smajlíky :D :) :( :o :shock: :oops: :oops: :roll: :roll: :lol: :lol: :mrgreen:
Odpovědět

Zpět na „MAI059 Pravděpodobnost a statistika“