[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 12
- Registrován: 15. 1. 2018 15:02
- Typ studia: Informatika Bc.
Re: [NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018
Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.
1.
a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/6*1/6 + (2/6)^2*1/6 + ... = 1/4
b) 1/6+1/3*1/6+(1/3)^2*1/6 + ... = 1/4
c) 1/6*2 + 1/3*1/6*4 + (1/3)^2*1/6*6 + ..., given 1/4 = 3
2.
a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75
3.
a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
d) TODO
4.
a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) > 15/sqrt(8000*1/4*3/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) < -15/sqrt(8000*1/4*3/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo
5.
a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci
6.
a)
P[X,Y]:
[0,1] = [1,1] = 1/4
[0,2] = [2,2] = 1/16
[1,2] = 1/8
[0,3] = [3,3] = 1/32
[1,3] = [2,3] = 4/32
b)
E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5
1.
a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/6*1/6 + (2/6)^2*1/6 + ... = 1/4
b) 1/6+1/3*1/6+(1/3)^2*1/6 + ... = 1/4
c) 1/6*2 + 1/3*1/6*4 + (1/3)^2*1/6*6 + ..., given 1/4 = 3
2.
a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75
3.
a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
d) TODO
4.
a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) > 15/sqrt(8000*1/4*3/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) < -15/sqrt(8000*1/4*3/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo
5.
a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci
6.
a)
P[X,Y]:
[0,1] = [1,1] = 1/4
[0,2] = [2,2] = 1/16
[1,2] = 1/8
[0,3] = [3,3] = 1/32
[1,3] = [2,3] = 4/32
b)
E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 6
- Registrován: 17. 1. 2019 16:10
- Typ studia: Informatika Bc.
- Login do SIS: volhejnv
Re: [NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 29.1. 2018
Moje řešení:
1.
a) Není potřeba sčítat řadu; můžeme si napsat rekurenci pro pravděpodobnost, že Emil vyhraje ():
Členy po řadě vyjadřují tyto případy: E se strefí a D ne, E se strefí a D taky, E se nestrefí a D taky ne, E se nestrefí a D ano.
Vyřešíme a dostaneme
b) Stejný koncept, jen koeficienty členů budou jinak. Nakonec ale stejně vyjde
c) Opět postavíme rekurenci:
Jednou oba hodí a pak pokud se oba strefí (s pravděpodobností ), tak házíme znova, čili musíme tuto p.st vynásobit . V ostatních případech se znovu už nehází. Vyjde .
2.
a) skripta;
b) Diskrétní: Označme množinu hodnot . Pak
Spojité:
c) vyjde
3.
a)
b) Plyne z nestrannosti a konzistentnosti empirické distribuční funkce, ale nevím, jestli Hlubinkovi tohle stačí.
c) Označme . Hledáme a takové, že nezávisí na (jen na náhodných pokusech), a .
Mějme náhodný výběr a zaveďme . Pak mají Bernoulliho rozdělení s parametrem . Použijeme CLV:
Z toho bychom chtěli vyjádřit . Pro stručnost jen pravá nerovnost. Označme upravíme na
ale neznáme, tak ho nahradíme výběrovým rozptylem (Sluckého věta nám to umožňuje)
A máme dolní hranici intervalu. Podobně pro druhou.
4.
a) Použití CLV:
Dosadíme
b) Analogicky, ale pravděpodobnost máme danou a místo toho musíme najít číslo, které dosadíme na místo, kde je teď . Pak použijeme inverzní (kvantilovou) funkci.
5.
a)
Důkaz analogicky s Markovovou; rozepíšeme integrály. Předpokládejme BÚNO . Pak tedy
b) skripta
c) skripta
d) konvergence v distribuci (skripta)
6.
a) přeskakuji
b)
vychutnejte si retro smajlíky
1.
a) Není potřeba sčítat řadu; můžeme si napsat rekurenci pro pravděpodobnost, že Emil vyhraje ():
Členy po řadě vyjadřují tyto případy: E se strefí a D ne, E se strefí a D taky, E se nestrefí a D taky ne, E se nestrefí a D ano.
Vyřešíme a dostaneme
b) Stejný koncept, jen koeficienty členů budou jinak. Nakonec ale stejně vyjde
c) Opět postavíme rekurenci:
Jednou oba hodí a pak pokud se oba strefí (s pravděpodobností ), tak házíme znova, čili musíme tuto p.st vynásobit . V ostatních případech se znovu už nehází. Vyjde .
2.
a) skripta;
b) Diskrétní: Označme množinu hodnot . Pak
Spojité:
c) vyjde
3.
a)
b) Plyne z nestrannosti a konzistentnosti empirické distribuční funkce, ale nevím, jestli Hlubinkovi tohle stačí.
c) Označme . Hledáme a takové, že nezávisí na (jen na náhodných pokusech), a .
Mějme náhodný výběr a zaveďme . Pak mají Bernoulliho rozdělení s parametrem . Použijeme CLV:
Z toho bychom chtěli vyjádřit . Pro stručnost jen pravá nerovnost. Označme upravíme na
ale neznáme, tak ho nahradíme výběrovým rozptylem (Sluckého věta nám to umožňuje)
A máme dolní hranici intervalu. Podobně pro druhou.
4.
a) Použití CLV:
Dosadíme
b) Analogicky, ale pravděpodobnost máme danou a místo toho musíme najít číslo, které dosadíme na místo, kde je teď . Pak použijeme inverzní (kvantilovou) funkci.
5.
a)
Důkaz analogicky s Markovovou; rozepíšeme integrály. Předpokládejme BÚNO . Pak tedy
b) skripta
c) skripta
d) konvergence v distribuci (skripta)
6.
a) přeskakuji
b)
vychutnejte si retro smajlíky