[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 2. 2018

Zavedení základních pojmů a metod teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky a příklady jejich aplikací. Jedná se zejména o pojem pravděpodobnosti, náhodné veličiny a jejího rozdělení, nezávislosti, náhodného výběru a jeho popisných charakteristik, konstrukci odhadů, testování hypotéz, náhodné generátory. Důraz je kladen na praktické použití metod s využitím dostupného statistického software.

[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 2. 2018

Příspěvekod PObdr » 14. 2. 2018 16:33

Příklad 1 (7 bodů). Martina si hodí pravidelnou kostkou. Podle výsledku K si poté vezme M symetrických mincí, kde M = 1 pokud K \leq 3, M = 2 pokud K \in \left \lbrace 4, 5 \right \rbrace a M = 3 pokud K = 6.
(a) Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
(b) Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
(c)* Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?

Příklad 2 (7 bodů).
(a) Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
(b) Dokažte tuto větu.
(c) V misce je nevyčerpatelné množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
(d)* Dá se něco říci o případě, kdy máme n příchuití, 2n zákazníků a n \to \infty?

Příklad 3 (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností 9 \cdot 10^{-4} vyhrát sto tisíc korun.
(a) Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(b) S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(c) Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).

Příklad 4 (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
f(x)=a^2x\text{ exp}(-ax) \text{ pro }x \geq 0, kde a > 0 je nějaký neznámý parametr.
(a) Odhadněte parametr a metodou momentů.
(b) Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.

Příklad 5 (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
(a) Vysvětlete, proč kovariance není vhodná míra závislosti X a Y, zatímco korelace ano.
(b) Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti X a Y?
(c) Nechť X a Y jsou stejně rozdělené náhodné veličiny, ne nutně nezávislé. Určete \text{corr}(X+Y, X-Y). Co z toho plyne?

Příklad 6 (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností p na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme n znaků a označme S_n počet znaků, které se přenosem změní.
(a) Buď n pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou S_n poděleno očekávaným počtem změněných znaků ES_n překročí 1 + \delta pro nějaké kladné pevné \delta.
(b) Pro n jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může \delta _n konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.




Poznámky: K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň 20 bodů z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.

Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.
PObdr
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 10
Registrován: 4. 10. 2014 23:54
Typ studia: Informatika Bc.
Login do SIS: obdrzalp

Zpět na MAI059 Pravděpodobnost a statistika

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník