Šaroch 10.1.2014

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
LordG
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 15
Registrován: 11. 1. 2012 13:08
Typ studia: Informatika Bc.

Šaroch 10.1.2014

Příspěvek od LordG »

Zřejmě první Šarochova zkouška na Algebře I, takže systém:
1. definice (4b) + příklad (2b)
2. znění věty bez důkazu (3b)
3. věta (2b) s důkazem (4b)
---
Celkem až 15b.

1 <= 15-12b
2 <= 9-11b
3 <= 6-8b

Jak vidno, je to celkem benevolentní.
Skupiny byly A a B, tedy moje B bylo následující:
1. Definujte, co je pro typ \Omega homomorfismus algeber, pokud použijete termín "zobrazení slučitelné s", definujte ho.
... Příklad: kolik faktorokruhů má okruh Z_{100}(+, \bullet, -, 0, 1)?

2. Formulujte větu o homomorfismu okruhů (nezapomeňte i na všechny předpoklady)

3. Definujte Eulerovu funkci, formulujte a dokažte větu o vlastnostech Eulerovy funkce pro posloupnost prvočísel (prostě Věta 0.9 nebo kolik :) ).
ips
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 11
Registrován: 10. 9. 2011 20:18
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Šaroch 10.1.2014

Příspěvek od ips »

Termín 17.1.2014

Bodování stejné, skupina tentokrát jen jedna:

1. Definujte index podgrupy v grupě, včetně přidružených pojmů. U které věty jsme index podgrupy použili?

2. Kolik různých okruhových homomorfismů existuje z osmiprvkového do šestnáctiprvkového tělesa?

3. Zformulujte a dokažte větu, která mezi všemi ideály komutativního okruhu R charakterizuje ty, podle nichž když R vyfaktorizujeme, dostaneme těleso.

4. Zformulujte, včetně všech předpokladů, 2. větu o isomorfismu pro grupy (používané pojmy krom pojmu grupy definujte).
Danstahr
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 12
Registrován: 26. 1. 2012 18:50
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Šaroch 10.1.2014

Příspěvek od Danstahr »

Dnesni zadani skupiny B :

Definujte Booleovy algebry (pres svazy i axiomaticky). (3b)

Mame nekonecnou mnozinu M a algebru prunik, sjednoceni a doplnek do M nad systemem jejich podmnozin B_M. Do B_M patri takove podmnoziny M, ktere jsou konecne nebo jejich doplnek do M je konecny. Ukazte (po 1b) :
a) B_M je podalgebra algebry P(M)
b) Pokud P z B_M neni M, pak existuje koatom takovy, ze p je jeho podmnozina
c) Neexistuje mnozina takova, ze B_M je izomorfni s jeji potencni algebrou.

Formulujte a dokazte vetu, ktera charakterizuje konecne Booleovy algebry (je to ta o izomorfismu algebry s potencni algebrou jejich atomu, ve skriptech 4.13).

Formulujte vetu o charakterizaci maximalniho idealu nad telesem T[x]. (dostaneme ho z telesa ireducibilnim polynomem, 5.10).

Pro A byl priklad temer stejny, definici a vetu meli neco se svazy.
jethro
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 5
Registrován: 3. 1. 2012 16:41
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Šaroch 10.1.2014

Příspěvek od jethro »

Dnes zmena bodovani, definice 3, priklad 3.
Skupina A:

Definujte svaz, napiste zneni vety o svazu jako algebre (takovy to S1 az S4).
Priklad jako B, akorat misto koatomu atom a misto podmnoziny nadmnozina.
Formulujte a dokazte 2. vetu o izomorfismu grup.
Definujte ireducibilni polynom, popiste konstrukci telesa s p^n prvky.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“