[Zk] 13.1.2012

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
BigBorec

[Zk] 13.1.2012

Příspěvek od BigBorec »

1. (7 bodů) Dokažte pro nesoudělná kladná celá čísla a,n > 1, že (a^{(\phi(n)}) \mod n = 1. (Dokažte včetně využívané části používané technické poznámky.)
2. (7 bodů) Dokažte, že je každá Booleova algebra izomorfní Booleově algebře podmnožin nějaké množiny.
3. Napište nějakou množinu generátorů grupy S_n velikosti <= n^2.
4. Uveďte větu o homomorfismu pro grupy.
5. Může mít komutativní grupa nekomutativní vlastní podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.
6. Existují dvě neizomorfní nekonečné cyklické grupy? Stručně zdůvodněte.
7. Existuje vždy nějaký homomorfismus algebry do sebe? Stručně zdůvodněte.
8. Definujte slučitelnost ekvivalence s operací. Je každá ekvivalence slučitelná s každou nulární operací?
9. Jsou grupy \mathbb{Z}_{19}(+) a \mathbb{Z}_{20}^*(\cdot) izomorfní? Stručně zdůvodněte.
10. Buď (X, \leq) uspořádaná množina. Definujte největší a nejmenší prvek.
11. Nakreslete nejmenší uspořádanou množinu, která není svazem.
12. Uveďte příklad okruhu a nějakého jeho ideálu.
13. (2 body) Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce \phi(2250).
14. (2 body) Nakreslete Hasseův diagram svazu podgrup grupy \mathbb{Z}_{27}(+).
15. (2 body) Kolik podgrup řádu 4 má grupa S_4(\circ)? Odůvodněte.
16. (2 body) Je podgrupa 3\mathbb{Z} grupy \mathbb{Z}(+) cyklická? Zdůvodněte.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“