6.1. predtermin

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
adamo

6.1. predtermin

Příspěvek od adamo »

Zdravim.

mohli by ste niekto napisat ake otazky boli na tomto predtermine?
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Ahoj, vcerejsi predtermin u Zemlicky na Karline byl drsny, byli jsme tam jen 4:) Zkusim prilozit naskenovanou pisemku...
Naposledy upravil(a) mathemage dne 7. 1. 2012 13:05, celkem upraveno 1 x.
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Nejak se mi nepodarilo nahrat prilohu (nevim, cim to je), takze externi odkaz:

http://www.uloz.to/12356202/str01-jpg
http://www.uloz.to/12356204/str02-jpg
Carpe Diem!
Jookyn
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 115
Registrován: 13. 9. 2008 21:42
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Jookyn »

Super, díky moc. Jinak nějaký správný řešení pro 7. někoho nenapadá?
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Jo, to mi vysvetlil takhle:

Algebry typu (2, 0, 0)... tj. binarni a 2 (ruzne) konstanty. Univerza 2-prvkova (pro kazdou konstantu jeden prvek). Tim je jednoznacne urcen homomorfismus (prislusne konstanty se musi zobrazit na sebe, to lze jedinym zpusobem).

Ted staci vytvorit "tabulku definujici binarni operaci" pro kazdou z algeber (tedy ktery dvojice daji jaky vysledek). Homomorfismus by mel prevadet jednu tabulku na druhou (az na prejmenovani prvku ze vzoru do obrazu homomorfismu, tj. obraz vysledku bude vysledkem obrazu puvodnich operandu). Staci zadefinovat operaci tak, aby to neslo: napr. v jedne algebre se vsechno zobrazuje do jednoho prvku, v te druhe se zobrazuje ruzne na vsechny prvky. Pak ten jediny kandidat na homomorfismus nema sanci byt homomorfismem:)
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

BTW tyhle otazky nejsou vsechny. Ke kazdemu cislu otazky je nahodne vybrano zadani ze 3-4 moznych alternativ, cimz je kazda pisemka takrka unikatni.

Dalsi otazky lze zjistit od dalsich absolventu predterminu, ale nejsem si jistej, jestli se tyhle vubec vyskytnou u dalsich terminu (i kdyz na druhou stranu by dalo dost prace vymyslet dalsi nove otazky:). Ale tak se aspon podivejte, at vite, jak to priblizne vypada...
Carpe Diem!
Uživatelský avatar
Davpe
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 98
Registrován: 22. 9. 2010 16:07
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Davpe »

Taky prispeju svoj verzi

( 7 bodu) :
obe ulohy stejne jako kolega vyse

(1 bod) :
3) Def. grupu invertibilnich prvku Z_n^* (\cdot). Za jakych podminek cyklicka?
4) Def. rmod pro grupy
5) Napsat aspon 4 neizomorf osmiprvkove grupy
-- Z_8, Z_2 \times Z_4 , Z_2 \times Z_2 \times Z_2, ?
6) Existuji dve neizomorf. cyklicke grupy radu 2^{1000}? Zduvodnete.
-- ne. Plyne z 1)
7) Def. typ algebry
-- pozn: tuto ulohu jsme meli 3 lide, vsichni tri jsme ji meli spatne. zemlicka se pak podival do skript a zjistil ze tam tu definici nema, takze nam to uznal a tato uloha na letosnich pisemkach uz nebude ;)
8) Aspon dve kongruence na nekonecne algebra
-- id, ?
9) Jsou grupy Z_{12}(+) a Z_3 \times Z_4 (+) isomorfni? Zduvodnit
-- Ano. Staci zobrazit generator 1 na generator (1, 1) a vypsat prirazeni prvku jedne grupy na druhou.
10) Def. Booleovu algebru
11) Nakreslit nejmensi svaz, ktery neni booleovou algebrou.
-- cesta o trech vrcholech na vysku.
12) Pospat vsechny idealy okruhu celych cisel

(2 body):
13) Spocitat 13^{-1} v monoidu Z_{19}(\cdot)
-- Pomoci euklidova algoritmu
14) Kolik je homomorfismu z grupy Z_{30}(+) do grupy Z_{50}(+)
15) Obsahuje grupa S_6(skladani) podgrupu radu a) 5 b) 8 ?
-- a) ano grupa generovana permutaci (1, 2, 3, 4 , 5)
-- b) ne. delky cyklu by musely mit soucet 6 a soucin 8 (protoze rad permutace je nsn delek cyklu). tedy moznosti jsou bud delky cyklu 2 a 4, ale pak je rad permutace nsn (2, 4) = 4 nebo delky cyklu 2, 2, 2 a pak je rad permutace 2.
16) Grupa Z \times Z (+) cyklicka? Zduvodnit.
-- Rekl bych ze ne, protoze je nekonecna a musela by byt isomorfni Z coz neni.

Neprislo mi to uplne lehke, navic pokud se clovek v dukazech zasekl a nemohl se odseknout, tak to byl (aspon pro me) docela problem.

Vysledek: dve jednicky dve trojky.

ja jsem dostal za 3 s tim, ze zemlicka nabizel trojkarum si to prijit nekdy opravit, takze se na Karline mozna jeste ukazu.
Naposledy upravil(a) Davpe dne 7. 1. 2012 20:43, celkem upraveno 1 x.
Jookyn
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 115
Registrován: 13. 9. 2008 21:42
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Jookyn »

Davpe píše: 6) Existuji dve neizomorf. grupy radu 2^{1000}? Zduvodnete.
-- ne. Plyne z 1) a
Nemají to náhodou být neizomorfní CYKLICKÉ grupy ... ? Pro obecné grupy to zdůvodnění nedává podle mě smysl a asi budou i nějaké neizomorfní existovat, ne?
Jookyn
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 115
Registrován: 13. 9. 2008 21:42
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Jookyn »

mathemage píše:i kdyz na druhou stranu by dalo dost prace vymyslet dalsi nove otazky:)
Myslim, že ani ne, viz sbírka loňských otázek od D. Stanovského (byla předem daná a známá tahle množina a z toho to náhodně generoval varianty) - http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stanovsk ... _ulohy.pdf
Uživatelský avatar
Davpe
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 98
Registrován: 22. 9. 2010 16:07
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Davpe »

Jookyn píše:
Davpe píše: 6) Existuji dve neizomorf. grupy radu 2^{1000}? Zduvodnete.
-- ne. Plyne z 1) a
Nemají to náhodou být neizomorfní CYKLICKÉ grupy ... ? Pro obecné grupy to zdůvodnění nedává podle mě smysl a asi budou i nějaké neizomorfní existovat, ne?
jasne, diky - prepsal jsem se. opraveno.
Jookyn
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 115
Registrován: 13. 9. 2008 21:42
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Jookyn »

Mimochodem, ještě jsem vypozoroval, že oba důkazy, který byly na prvnim termínu jsou ve skriptech opravdu vedený jako "Věta" a nikoli jako "Poznámka". Myslíte, že je to náhoda, nebo že bude dávat dokazovat jen věci vedený jako věty? Protože tim by odpadlo tak 70% důkazů, který jsou u poznámek...

Neřikal o tom náhodou něco na přednášce?
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 5) Napsat aspon 4 neizomorf osmiprvkove grupy
-- Z_8, Z_2 \times Z_4 , Z_2 \times Z_2 \times Z_2, ?
Jeste D_8 - dihedralni grupa (vsechny symetrie ctverce). Ma prvky radu (1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4).

\mathbb{Z}_8 ma prvek radu 8.

\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 ma 4 prvky radu 4.

\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 ma zase jen prvky radu nejvejs 2.

Informace o radech prvku se zrovna daji zapsat pomoci uzavrenych formuli, ktere by mely platit stejne v izomorfnich strukturach, takze D_8 je skutecne neizomorfni k ostatnim;)
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 6) Existuji dve neizomorf. cyklicke grupy radu 2^{1000}? Zduvodnete.
-- ne. Plyne z 1)
Spis proto, ze cyklicke grupy takovych radu jsou vzdy izomorfni \mathbb{Z}_{2^{1000}}, takze by k sobe byly stejnak vzdycky izomorfni.
Naposledy upravil(a) mathemage dne 11. 1. 2012 00:53, celkem upraveno 2 x.
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 8) Aspon dve kongruence na nekonecne algebra
-- id, ?
Jeste treba relace se vsemi prvky, tj. A\times A
Naposledy upravil(a) mathemage dne 11. 1. 2012 00:54, celkem upraveno 1 x.
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 9) Jsou grupy Z_{12}(+) a Z_3 \times Z_4 (+) isomorfni? Zduvodnit
-- Ano. Staci zobrazit generator 1 na generator (1, 1) a vypsat prirazeni prvku jedne grupy na druhou.
Nebo staci rict kratce "Cinska zbytkova veta";)
Carpe Diem!
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“