6.1. predtermin

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 11) Nakreslit nejmensi svaz, ktery neni booleovou algebrou.
-- cesta o trech vrcholech na vysku.
Jak se tady prijde na to, ze se nejedna o Booleovu algebru?

(Jediny co me napada, je, ze kazda konecna BA je isomorfni potencni algebre mnoziny vsech svych atomu, a ta ma velikost mocniny 2, coz 3 neni. Ale urcite je nejake jednodussi vysvetleni:)
Naposledy upravil(a) mathemage dne 11. 1. 2012 12:07, celkem upraveno 2 x.
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 12) Pospat vsechny idealy okruhu celych cisel
k\mathbb{Z} ... (idealy okruhu jsou podgrupy scitaci grupy tohoto okruhu) -> Vsechny podgrupy \mathbb{Z} jsou takovyho tvaru, navic jsou to i idealy (tzv. hlavni idealy) ... je to primo v Zemlickovych skriptach, ale ne uplne detailne vysvetleny
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: 14) Kolik je homomorfismu z grupy Z_{30}(+) do grupy Z_{50}(+)
#homomorfismu ze \mathbb{Z}_m do \mathbb{Z}_n je NSD(m, n). Dukaz nepatri zrovna k tem nejtrivialnejsim, ale pokusim se o nej:

Zkoumejme, na jake podgrupy \mathbb{Z}_n se muze homomorfismus f zobrazit (tj. velikost obrazu, oznacme ji r):
1) Im(f) \leq \mathbb{Z}_n, tj. r deli n
2) Im(f) \simeq \mathbb{Z}_m/Ker f, jejiz velikost je index [\mathbb{Z}_m:Ker f], ktery je z Lagrangeovy vety delitel radu grupy \mathbb{Z}_m, neboli r deli take m

Tudiz r deli i NSD(m, n). (jinymi slovy: Muzem tedy homomorfismem zobrazovat jen na podgrupu radu spolecneho delitele m a n).

Jak konkretne? Budeme zobrazovat 1 (generator v \mathbb{Z}_m) na nejaky generator podgrupy (grupy \mathbb{Z}_n) vhodne velikosti r. Zbyvajici prvky jsou jasne dane, tj. f(k):= k f(1)

Ale kolik takovych generatoru je? - Presne jich je:
\sum_{r \mid NSD(m,n)} \varphi(r)
coz se uplnou nahodickou i rovna NSD(m,n).

To se dokaze pocitanim 2 zpusoby: spocitame vsechny prvky \mathbb{Z}_{NSD(m,n)}
(1) trivialne je to NSD(m,n)
(2) kazdy prvek generuje prave 1 podgrupu nejake velikosti r, a ta je delitelem NSD(m, n) (dokonce podgrupa teto velikosti je prave 1!!). Tenhle prvek je generatorem teto podgrupy (a zadne dalsi), takze prispeje prave jednou 1 do (prave jedne) Eulerovy funkce \varphi(r). V Eulorove funkci je prave jedna 1 za kazdy generator a nic dalsiho, a velikosti podgrupy (v sume jsou to ty "r") jsou prave jen delitele NSD a nic dalsiho.

shrnuto: #homomorfismu = #moznosti zobrazeni 1 na generator podgrupy vhodne velikosti r (viz vyse) = #takovych generatoru = NSD(m, n)
Q.E.D.

BTW nemate nekdo napad, jak jednodusejc to dokazat? Prijde mi, ze to urcite jde nejak zkratit/zjednodusit:)
Naposledy upravil(a) mathemage dne 11. 1. 2012 01:03, celkem upraveno 3 x.
Carpe Diem!
mathemage
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 130
Registrován: 14. 1. 2011 10:03
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od mathemage »

Davpe píše: Neprislo mi to uplne lehke, navic pokud se clovek v dukazech zasekl a nemohl se odseknout, tak to byl (aspon pro me) docela problem.
Nelze nez dodati: SVATA PRAVDA! :)
Carpe Diem!
Ganef
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 8
Registrován: 19. 1. 2011 15:45
Typ studia: Informatika Bc.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Ganef »

mathemage píše:
Davpe píše: 11) Nakreslit nejmensi svaz, ktery neni booleovou algebrou.
-- cesta o trech vrcholech na vysku.
Jak se tady prijde na to, ze se nejedna o Booleovu algebru?

(Jediny co me napada, je, ze kazda konecna BA je isomorfni potencni algebre mnoziny vsech svych atomu, a ta ma velikost mocniny 2, coz 3 neni. Ale urcite je nejake jednodussi vysvetleni:)
Ano, jde to jednodušeji. Spodní prvek je 0, horní prvek je 1 a prostřední ať dělá co dělá, tak je mezi nimi a nemá k sobě doplněk. Ale operátor doplňku by měl být definovaný pro všechny prvky.
Ganef
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 8
Registrován: 19. 1. 2011 15:45
Typ studia: Informatika Bc.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Ganef »

mathemage píše:
Davpe píše: 14) Kolik je homomorfismu z grupy Z_{30}(+) do grupy Z_{50}(+)
#homomorfismu ze \mathbb{Z}_m do \mathbb{Z}_n je NSD(m, n). Dukaz nepatri zrovna k tem nejtrivialnejsim, ale pokusim se o nej:
S výsledkem souhlasím, ale možná někomu více sedne toto zdůvodnění:

Všimneme si, že pokud je zobrazení homomorfismus, tak je jednoznačně dáno tím, kam se nám zobrazí generátor (BÚNO jednička). Takže stačí jen zjistit, kam se nám 1 může zobrazit, aby jsme dostali homomorfismus.

Nahlédneme, že ker f má všechny ekvivalenční třídy stejně velké, protože 1 se nám zobrazí do [1] a m-1 se musí zobrazit do [-1] (aby se zachovaly inverzní prvky). => 1 se může zobrazit na takové prvky k, že n dělí k*m (50 dělí k*30). Nejmenší k, které splňuje tuto vlastnost je n/NSD(m, n) a počet čísel, které vlastnost splňují je n/(n/NSD(m, n)) = NSD(m, n).
babca_

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od babca_ »

Ahoj
15) Obsahuje grupa S_6(skladani) podgrupu radu a) 5 b) 8 ?
U b) Dle lagrange rad podgrupy deli rad grupy, rad S_6 je 6! = 6*5*4*3*2*1 a tedy 8 | 6! => B) Ano

Je to pravda? O:-)
Jookyn
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 115
Registrován: 13. 9. 2008 21:42
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Jookyn »

babca_ píše:Ahoj
15) Obsahuje grupa S_6(skladani) podgrupu radu a) 5 b) 8 ?
U b) Dle lagrange rad podgrupy deli rad grupy, rad S_6 je 6! = 6*5*4*3*2*1 a tedy 8 | 6! => B) Ano

Je to pravda? O:-)
Myslim si, že neni a že argument, proč podgrupa neexistuje je v původním příspěvku správně...

Podle mě je úvaha chybná protože Langangeova věta neni postačující podmínka pro existenci podgrupy řádu k|n, ale pouze nutná.
Pak tam sice byla věta, že pro každé k|n existuje práve jedna podgrupa řádu k, jenže to bylo pouze pro cyklické grupy.

Kdyžtak mi pls někdo opravte, pokud se v něčem mýlim...
babca_

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od babca_ »

Jookyn píše:
babca_ píše:Ahoj
15) Obsahuje grupa S_6(skladani) podgrupu radu a) 5 b) 8 ?
U b) Dle lagrange rad podgrupy deli rad grupy, rad S_6 je 6! = 6*5*4*3*2*1 a tedy 8 | 6! => B) Ano

Je to pravda? O:-)
Myslim si, že neni a že argument, proč podgrupa neexistuje je v původním příspěvku správně...

Podle mě je úvaha chybná protože Langangeova věta neni postačující podmínka pro existenci podgrupy řádu k|n, ale pouze nutná.
Pak tam sice byla věta, že pro každé k|n existuje práve jedna podgrupa řádu k, jenže to bylo pouze pro cyklické grupy.

Kdyžtak mi pls někdo opravte, pokud se v něčem mýlim...
Jo mas pravdu, ta jednoznacnost je jenom pro cyklicke grupy. Dekuji za opravu :)
Mirek

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Mirek »

Mohli byste mi, prosím, vysvětlit, jak se počítá 14) počet homomorfismů? Díky
Mirek

Re: 6.1. predtermin

Příspěvek od Mirek »

Mirek píše:Mohli byste mi, prosím, vysvětlit, jak se počítá 14) počet homomorfismů? Díky
Tak po refreshi se to zdá zbytečné :)
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“