Seznam otazek!!!

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
WindowLicker
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 13. 2. 2006 13:16

Seznam otazek!!!

Příspěvek od WindowLicker »

Tady sem dal do kupy otazky z predchozich let. Je to vice mene kompletni. Rozdelene na teoreticke a prakticke. U teorie jsou odkazy na vety-co od vas tak asi bude cekat. u praktickych su navrhnuta reseni. Snad pomuze.
Ucebni zdroje:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~korbelar ... lgebra.pdf <- vyborne cviko
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka/
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka ... algi07.pdf <-presne zneni definic, obcas i s dukazem a pak hlavne priklady
http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=159&t=3953 <- prepis letosnich prednasek
+mff.fear.cz forum.matfyz.info

TEORIE

1. Lagrangeova veta (5.3)-dukaz, poznamka 5.2 –dukaz. Grupa definice. resp. souvislost velikosti podgrupy a grupy, coz je uplna pohodka, a pak mi dal samozrejme dokazat veci z poznamky 5.2.
2. Monoid, jak vypadaji vsechny invertibilni prvky (1.13 1.14), konstrukce grupy. Jednoznačnost inverzniho prvku. (neutralni prvky e,f z G(*), e=e*f=f)
3. Chtěl definice okruhu a ideálu, větu o vztahu kongruencí a ideálů (6.2), ty dvě tvrzení o vztahu mezi okruhy a tělesy (6.4), (6.5).
4. Okruhy, ideály, vztah kongruencí a ideálů na okruhu Vztah kongruenci okruhu a idealu (dokazat vety 6.2 a 4.8 )
5. Vztah kongruenci a idealu na okruzich (6.2)
6. Okruhy, idealy, hlavni idealy + dukaz ze jsou idealy, vztah mezi telesy a pravymi(levymi) idealy s dukazem (6.3).
7. Okruhy a ideály, Hlavní ideály, Popis tělesa pomocí ideálů. R je těleso <=> má pouze nevlastní pravé ideály <=> má pouze nevlastní levé ideály.(6.3) -(a.b)=a.(-b) dukaz: a.(-b)=a.(-1).b=(-1).a.b=-(a.b)
8. Komutativní okruh a maximální ideál (napsat definice + formulovat a dokázat větu 6.5 -> mohl jsem se v důkazu odvolávat na nějaké předchozí věty)
9. Algebra, Podalgebry a Homomorfismy. Definicie, pak se zameril na (1.3)
10. Vlastnosti homomorfismu (slouceni, inverz, a obraz a vzor podalgeber) tedy poznamky 1.2 a 1.3 s dukazem
11. vztahy mezi kongruencemi a homomorfizmy na algebrach (neboli priroz projekce kongurence je homo, jadro homorfizmu je kongurence (1.5))
12. uzaverove systemy, uzver, operator, 2 vety s dukazy ktere mluvi o jejich zakladnim vztahu. Vztah uplnych svazu a uzaverovych systemu (2.2, 4.4)
13. Svazy, monotonni zobr(4.7), isomorfismus svazu. Dukaz vetu o isomorfismu svazu. Definici uspořádání, infima, suprema, monotonie, homomorfismu a izomorfie. Poté věty 4.6 a 4.7 – vety dokazat
14. Svaz ako usporiadanie mnoziny a algebra(poznamky 4.1, 4.2 - dukaz) Usporiadanie sa da nahradit spojenim a prusekom a naopak. Teda Poznamku 4.1 a potom aj lahsiu cast Poznamky 4.2. Nemusel som dokazat tu cast Poznamky 4.2, ze m v n sa rovna presne infimu a spojenie supremu.
15. Opacny svaz(S(A,V) svaz, pak taky S(V,A) je svaz, s dukazem 4.5). Modularita svazu(definice a poznamka tesne predtim s "polomodularitou" (4.6) s dukazem) a priklady modularnich svazu (tri vrcholy nad sebou spojene hranami)
16. Věta o bijekci na svazech, že je izomorfismus právě když je momotónní z obou stran (4.8 ).
17. Kongruence, faktoralgebry, prirozena projekce, jadro zobrazeni. Pridokazat - faktoralgebra je algebra (neboli dokazat korektnost definice operace alfa na A/ro), a pak prirozena projekce je homomorfismus(1.7). kongruence, faktoralgebry (definice.7); jádro homomorfismu a přirozená projekce (jaký je mezi nimi vztah 1.5 dokazat).
18. Svazy kongruencí grupy a normálních podgrup. Měl jsem to definovat a dokázat izomorfizmu (4.9, 4.8 )
19. Cyklicke grupy a jejich popis. K teorii jsem napsal definici, dokazal veticku, ze cyklicka grupa je isomorfni se Z resp. Zn pro kardinalitu grupy nekonecnou resp. konecnou. Co jsem tam zapomnel napsat bylo v te konecne variante ze zobrazeni psi dane predpisem k |-> k mod n je homomorfismus, abych mohl pouzit vetu o isomorfismu. On me upozornil, pak jsme to nejak dali dohromady a dobry. A jeste jsem dokazal asi poznamku g^|G|=1 pro grupu G a geG.(5.8 )
20. Cyklicke grupy, jejich charakterizace. Vlastnosti podgrup a faktoru. chcel co je to cyklicka grupa, ze kazda (ne)konecna je izomorfna Z(n) (a ako) (5.8 ), potom vety, ze podgrupa aj faktorgrupa je tiez cyklicka...
21. Vztah cyklickych grup, jejich podgrup a faktorgrup = Dokazte 5.9 a 5.7"
22. Gailosova korespondence-definice a veta. U vety mi na zacatku rekl, ze je to jedna z tech co si clovek nemusi drzet v hlave tak kdyz nebudu vedet - klidne mi ji rekne. Hlavni je dukaz. V nem jsem dal jen ty trivialni
23. napsani a dokazani vety o homomorfismu (3.5) a 1. a 2. vety o isomorfismu (3.6 a 3.7). napsani a dokazani vety o homomorfismu (3.5) a 1. a 2. vety o isomorfismu (3.6 a 3.7). U vety o homomorfismu se staci odvolat na vetu 1.6.
24. Vztah jadra a obrazu zobrazeni (veta o homomorfismu, 1. veta o isomorfismu)(3.4, 3.5)
25. 2. věta o izomorfismu + důkaz (3.6)
26. Faktor kongruencia na algebre + neviem co, ale zmyslom bolo napisat 2. vetu o izomorfizme. Napisal som definiciu relacie sigma/ro na A/ro, znenie pozn 3.1, pozn 3.2 a dokazal som 2. vetu o izomorfizme
27. Vztah medzi jej normalnymi podgrupami a svazom vsetkych kongruencii? Ide o to sialene tvrdenie 4.8 z ktoreho vyplyva potom 4.9 (ze tie normalne podgrupy a kongruencie su izomorfne)
28. Eulerova funkce + jeji vztah ke grupam a monoidum. K teorii jsem musel napsat zneni vety f(nm)=f(n)*f(m), pro nesoudelna a pak to s tim p^r. K obojimu chtel dukaz. K tomu vztahu ke grupam a monoidum chtel vety o tom, ze f(n) je pocet prvku, ktery generujou grupu Z_n(+,-,0) a taky pocet invertibilnich v Z_n(*,1). (5.13, 5.15, 5.16.)
29. Eulerova funkce, mala fermatova veta. Definice, dukaz (5.14)
30. Podilove teleso oboru integrity: Q(Z)=Q, Q(R[x]) jsou racionální funkce, Q(Z)=Q, Q(Z[V5])=Q[V5]
31. Cinska veta o zbytcich (4.10) + soucin algeber.

PRAKTICKE

Inverzni prvky v takove grupe jsou vsechna cisla, co jsou nesoudelna s radem grupy ( NSD(cislo, rad grupy) = 1 )
1. Jak vypada mnozina vsech invertibilnich prvku mnoziny vsech linearnich zobrazeni V->V. O: Je to grupa permutaci
2. Dokázat uzavřenost na operace a normalitu grupy In(G) v Aut(G), bylo to více rozepsáno...
3. Z(+,-,.,0,1) obsahuje jenom ideály tvaru kZ Stačí si stejně jako v předchozím příkladu rozmyslet, že ideály okruhu Zn(+, •,−, 0, 1) právě splývají s podgrupami grupy Zn(+,−, 0). Podle Věty 5.8 právě tvaru kZn pro vlastní dělitele čísla n nebo k = 0
4. Napsat vsechny atomy a koatomy svazu podgrup grupy Z 30. Tzn. rozlozit 30 na prvocisla, nahazet vsechny podgrupy do Hasseova diagramu,
5. Kolko prvkov ma mnozina vsech invertibilnych prvku monoidu grupy Z50(.,1)(Z50 = mod 50). zasade to nebolo fakt nic tazke, staci si zobrat eulerovu fnkciu do nej postupne nasypat vsetky hodnoty a je to, avsak ma upozornil ze prave kvoil takymto pripadom chcel dat Z500 tam by sa to proste riesilo obdobne, ja som to tiez takto robil, ze si nadjete co deli 500(2,5) no a tie prvky vyahdzete a vyhadzete aj sude a je to zostane mnozina invertibilnych prvku, dufam ze som to nepoplietol, inac vysledok mal byt 20 prvkova mnozina {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41, 43, 47, 49}. Tu som este potomm al dokazat ci dane riesenie je fakt uplne a ci plati pre nejaky obecny pripad
6. počet invertibilních prvků Z500. ( měla se použít Eulerova funkce a její vlastnosti: fi(mn) = fi(m)fi(n) pro n, m nesoudělné a fi(p^r) = (p-1)p^(r-1) pro p prvočíslo; tedy "počet invertibilních prvků Z500" = fi(500) = fi(5^3)fi(2^2) = 4 * 5^2 * 1 * 2^1 = 200 )
7. Jaká je velikost množiny všech invertibilních prvků Z990(.,1)? Už to tu bylo několikrát, použije se Eulerova fce a F(p^k) = p^(k-1) * (p-1) (5.12 - 5.14). F(990) = F(2*3^2*5*11) = (2^0*1) * (3^1*2) * (5^0*4) * (11^0*10) = 1 * 6 * 4 * 10 = 240
8. kolik generatoru ma Z270 :smyslem bylo napsat definici fce (+ ty dve dalsi doplnujici - tim bylo myslim splneno i to vztah ke grupam a monoidum) + vzorec pro n (jak si to rozlozim na mocniny prvocisel - 5.17) + dukaz toho vzorecku -> takze dokazat 5.16 ... tam jsem se trosicku zamotal v miste, kde se vyuziva 5.15 (Cinska o zbytcich) - respektive ja blbec jsem se mu priznal, ze si v tom, ze Zn.m* je isomorfni s Zn* x Zm* nejsem uplne jisty - i kdyz jsem to tam mel napsane ---> on na to: "Ale vzdyt to tu mate napsane, to je cinska veta o zbytcich... No, tak si teda dokazte, ze tam nejaky isomorfismu je, zkuste tam nejaky najit" ... takze sranda, vlastne jsem (mozna zbytecne) musel delat neco na zpusob
9. Mame-li f: G -> G, f(h)= ghg-1 (to g-1 je inverzni prvek k g), g z G. Je to homomorfismus? Jaky je ker f, pokud nasobeni je komutativni?
10. Mam N a usporadani "deli", je to svaz? mam Z a to same usporadani, je to svaz? Je tento svaz modularni? [btw: opravdu v zadani bylo jednotne cislo... buhvi jestli nahodou nebo jako nenapadna napoveda]
takze, N(/) ano, inf{a,b} = NSD(a,b), sup{a,b} = nsn(a,b)
Z(/) ne, protoze / neni na Z usporadani
a/b <=> existuje c: ac=b
usporadani - reflexivni, tranzitivni, a/b & b/a => a=b
-1/1, -1*-1=1
1/-1, 1*-1=-1
ale 1 != -1, takze Z(/) nemuze byt svaz pac to neni usporadana mnozina
---------
modularni, tzn
a<=c [tohle jsem tam nedal, vymyslel protipriklad a on mi taktne naznacil ze to tam neni a nedelal s tim problemy]
tzn dokazat a v (b^c) = (a v b) ^c
ja to umlatil pres prvocinitele (^ je totiz NSD, v nsn viz vyse)
tzn:
a=p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn
b=p1^l1 * p2^l2 * ... * pn^ln
c=p1^m1 * p2^m2 * ... * pn^mn
uvedomime si (lol, miluju tu hlasku), ze nsn(a,b) = p1^max{k1,l1}*..*pn^max{kn,ln}
NSD obdobne s minimem
takze ve vysledku:
a v (b^c) = (a v b) ^c
nsn(a,NSD(b,c)) ?= NSD(nsn(a,b),c)
--- (potud bylo ^ prusek, odtud je to mocneni) ----
kdyz preskocim par kroku pak pro kazde prvocislo plati:
pi^max{ki,min{li,mi}} ?=pi^min{max{ki,li},mi}
a vim ze ki <= mi. (a deli c)
mno a zbyva nekam zaradit b:
ki <= mi <= li: pi^mi =pi^mi ano
ki <= li <= mi: pi^li =pi^li ano
li <= ki <= mi: pi^ki =pi^ki ano
takze vskutku rovnost plati... [uvedomme si, ze jsme netrivialni ulohu modularity svazu N(/) prevedli na trivialni modularitu na N(<=) ktera je trivialni... kdyz mi tohle zemlicka rekl, modlil jsem se aby nezeptal, co jsem si dale uvedomil, pac samostatne sjem si uvedomoval jenom ze jsem v KA]
11. Jak vypadá podílové těleso okruhu všech realných polynomů jedné neurčité R[x] (resp. dvou neurčitých R[x,y]). Tohle je taky jednoduchý, jak se nad tím zamyslíte. Já tam furt hledal nějaký chytáky a na tom zkejsl sakra dlouho. F/~ je těleso izomorfní tělesu Q = {p/q; p je polynom, q je nenulový polynom}. To po mně taky chtěl dokázat a nakonec na boj o jedničku jsem mu dokázal, že ~ je ekvivalence. Mezi racionálními čísly a F/~ nějaká bijekce bude. Což o to Ale nenajdeš tam žádnej izomorfismus. Já jen chtěl naznačit, že s racionálními čísly se tam vůbec neoperuje a vysvětlit nedorozumění, ke kterému došlo pravděpodobně, když jsem si těleso lomených polynomů označil jako Q. Jinak ta bijekce může vypadat jakkoliv se ti zlíbí, já použil "nejintuitivnější" f: p/q -> [(p,q)]~
12. Jak vypadá podílové těleso okruhu všech realných polynomů jedné neurčité R[x] (resp. dvou neurčitých R[x,y]). To je gASK-ova otazka z lonska z z fearu a je tam i plus minus vysvetlena ... R[x] je obor integrity takze muzu definovat algebru F, ekvivalenci ~ a F/~ jako podilove teleso a dostanu to co potrebuju -- plyne to z vet 6.9 a 6.10 v tom syllabu
13. svaz vsech podgrup Z(+,-,0) a najit vsechny koatomy a atomy. Atomy nema a koatomy jsou pZ - p prvnocisla Ten svaz by mel vypadat tak, ze nahore je to cele Z, a pod nim jsou vsechny podgrupy pZ, kde p je prvocislo => vsechny pZ jsou koatomy. Atomy tento svaz NEMA, protoze je nekonecny... v dalsich urovnich svazu se dostavame svazy jako p*qZ ..., kde p a q jsou opet prvočísla Poznámku 5.7 Chtel jeste dokazat, ze to co rikam je pravda, tzn. obe se dokazalo sporem a bylo.
14. Popsat svaz vsech kongruenci okruhu komplexnich cisel C(+,.,-,0,1). Pouzilo se, ze kongruence a idealy na okruhu si vzajemne odpovidaji (6.2). Ale protoze jsem nevedela, jak najit vsechny idealy, Zemlicka mi poradil, ze mam nejak vyuzit, ze C je teleso. Teleso obsahuje pouze 2 idealy(6.4), v nasem pripade C a Id, takze svaz kongruenci je tvoren kongruencemi CxC a Id.
15. Dana mnozina R= {a/b, a,b zo Z, NSD(b,7) = 1 }. Popisat svaz vsetkych idealov R. (riesenie: R ma okrem trivialnych idealov aj vlastne idealy a tie maju tvar 7^k.R) Popisat svaz vsetkych kongruencii na R.
16. Kongruence na z Z, takze treba (6.2) (aspon myslim) a vzpomenout si na idealy nad Z
17. Podle Věty 6.2 z přádnášky nám stačí najít izomorfní svaz všech ideálů. Podle zjištění předchoyí úlohy se jedná právě o Hasseův diagram svazu všech podgrup grupy Z42(+,−, 0). Označíme-li opět nýk kongruenci odpovídající ideálu kZ42, tj. kongruenci pro niž platí, že (a, b) ∈ nýk ⇔ k/a − b, dostáváme obvyklým způsobem ný 1->2, 1->3, 1->7, ný 2+ný7->ný14, ný2+ný3->ný6, ný3+ný7->ný21, ný6+ný14+ný21->id
18. Popsat vsechny kongruence na okruhu Z(+,.,-,0,1). Napsal jsem jen, ze podle vety 6.2 je izomorfni svazu vsech idealu a podle X.X ma Z idealy prave tvaru kZ pro k nezaporne cele cislo.Pak jsem nakreslil jak ten svaz idealu vypada.
19. Zjistit, jestli N (prirozena cisla) nebo Z tvori s relaci | ("deli") svaz. Pokud ano, tak zjistit, jestli je modularni. V praxi se muselo dokazat, ze relace je usporadani a potom ze pro kazdy dva a,b prvky je infimum = NSD(a,b) a sup = nsn(a,b). Pro N to svaz byl, pro Z stacilo najit ze -1|1, 1|-1 a pritom 1 se nerovna -1 (relace neni antisymetricka). Modularita: k overeni bylo treba se nejak vyporadat s tim, ze tam vychazelo pro n<=c musi nsn(a,NSD(b,c)) = NSD(nsn(a,b),c). Trik byl v tom si cisla zapsat jako prvociselnej rozklad
a = p_1^a_1 * ... * p_n^a_n
b = p_1^b_1 * ... * p_n^b_n
c = p_1^c_1 * ... * p_n^c_n
(nektery exponenty prvocisel mohly bejt 0, jako ze v rozkladu to prvocislo neni).
20. Jsou nektere z okruhu Z(+,.,-,0,1), Q(+,.,-,0,1) a R(+,.,-,0,1) izomorfni? stacilo sa opriet o to, ze v Z nie su inverzne prvky oproti Q a R a v Q zas odmocniny oproti R, nejak to formalne zapisat a bolo.
21. Popiste svaz kongruenci na okruzich realnych cisel R(+,*,-,0,1) a racionalnich cisel Q(+,*,-,0,1). Staci si uvedomit, ze kazda kongruence na okruhu je izomorfni nejakemu idealu, a protoze realna i racionalni cisla jsou telesa, maji jenom dva idealy, ktere odpovidaji Id a RxR (QxQ). Pak chtel k tomu jeste napsat vety, z kterych to plyne, bez dukazu
22. atomy a koatomy svazu vsetkych kongruencii na Z100 (Z500) (klasika x mod 100). To je izomorfni podle nejaky vety svazu norm. podgrup a pak je to taky snadne (4.10)
23. zvaz vsetkych podgrup cyklickej grupy s 20 prvkami...
Z20
/ \
(0,2,4...18) (0,5,10,15)
| |
(0,4,8,12,16) (0,10)
\ /
0
24. Je dan monoid slov M({x,y})(*,e) a vztah (x*y,e). To definuje minimalni kongruenci eta. Jak vypada M/eta? Vezmes nejmensi ekvivalenci obs. vztah (xy,e). To je zrejme ekvivalencni trida [e] = { xy, e } a same singletony (tridy kde kazde 1 slovo je samo). A ted musis udelat uzaver vzhledem k operaci *. Takze vyjde spousta ekvivalencnich trid, nejak takhle:
[e] = { e, (xy)^i }
[x] = { x, (xy)^i x, x(xy)^i }
[y] = { y, (xy)^i y, y(xy)^i }
[xx] = { xx(xy)^i, x(xy)^i x, (xy)^i xx }
- na kazdou pozici v rade xxxx... muzes dat (xy)^i a bude to ve stejny tride
- pro radek yyy... uplne stejne
[yx] = { yx(xy)^i, y(xy)^i x, (xy)^i yx }
stejne mas pro yyyyyy.... xxxxx..., ale uz ne xxxxx... yyyy...., to je ekvivalentni e.
25. Dokazat, ze mnozina vsetkych regularnych matic radu n tvori grupu a pre par vybranych podmnozin urcit ci su to podgrupy. Stacilo vediet z linagebry, ze regularne matice maju vzdy inverz, nasobenie je asociativne a ze det(AB)=det(A)det(B).
26. Popsat svaz vsech kongruenci S3(o,-1,Id). To mi dalo celkem zabrat, muselo se to posledni vetou svazu prevest na ulohu hledani podgrup a pak to slo
27. Praktická: Popište svaz všech kongruencí v grupě S3(o,-1,Id)... Podle jedné věty (4.9.???) stačí popsat svaz všech normálních podgrup grupy S3(o,-1,Id)... takže jsem si nakreslit prvky dané grupy (je jich 6), našel jsem si všechny možné podgrupy (je jich myslím taky 6), pak zjistil, které z nich jsou normální (3) a nakreslil svaz, který tvoří... Zapomněl jsem přitom na jednu normální podgrupu, a to 6-tiprvkovou (tj celá grupa je normální podgrupou)
28. Jak vypada svaz vsech kongruenci na S3 (grupa permutaci triprvkove mnoziny). Reseni - Podle vety o isomorfismu svazu je isomorfni svazu vsech normalnich podgrup. Jedine normalni podgrupy jsou: A3 (sude permutace) a trivialni (tedy S3 a Id). V Hasseove diagramu S3 -> A3 -> Id. Chtel dukaz, ze jsem zadnou normalni (podle L. vety musi mit podgrupa rad 6,3,2 nebo 1 - tak se proberou vsechny takove podgrupy)
29. Nakrestli svaz vše kongruencí na S3. Též se to tu už někde řešilo. Převede se to pomocí věty 4.9 na svaz všech normálních podgrup, do nich patřít kromě celé grupy S3 a prázdné podgrupy pouze podrupa {ID,(123),(132)}
30. Dokazat nebo vyvratit izomorfismus monoidu Z(+,0) a Z(*,1) Druhy jsem nejak vyvratil pres invertibilni prvky
31. Kongruence na okruhu Z(+,*,-,0,1). Trosku jsem se s tim zamotal, tak po me chtel dukaz 5.7 a to jsem nezvlad
32. Haseuv diagram vsech kongruenci na telesech Q, R
33. grupa (o,-1,Id) izomorfismů tvaru G -> G , kde G je standartní grupa (x,-1,1), a ty izomorfismy ve tvaru f(h)=gxhx(g(na minus prvou)), kde g je z G, že ta celá grupa izomorfismů je normální podgrupou všech izomorfismů z G do G (Aut(G)(o,-1,Id)). Měl jsem jen dokázat, že je to podgrupa (uzavřenot na operace) a že je normální
34. Existuje isomorfismus mezi N0(+,0) a N(*,1)? Pokud ano najdete ho... Neexistuje - v N0(+,0) totiz neexistuje (nekonecne velka) analogie prvocisel, tedy je zde jen konecne mnoho cisel nezapsatelnych jako soucet dvou (nenulovych) prvku (konkretne jen jednicka)... Nakonec se to uhraje pres vlastnosti homomorfismu jakozto slucitelneho zobrazeni (f(a+b)=f(a)*f(b)) a bijekce jakozto zobrazeni prosteho a na
35. monoidy N0(+,0) a N(.,1), existuje medzi nimi izomorfizmus? Izomorfne nie su, ale nic rozumne ako to dokazat ma nenapadlo, tak Zemlicka mi poradil nech to skusim cez prvocisla, tie nemaju v monoide N0 analogiu No v N(*,1) prvocisla proste mas ... ale v N_0(+,0) nic jim podobneho ... nic co by se nedalo rozlozit na soucet vice prvku jinak nez jako (0+p)
36. G(*,-1,1) je grupa, Z(G)={g z G| h*g=g*h pro vsechna h z H}, dokazat, ze je Z(G) normalni podgrupa a jak by vypadalo Z(G) kdyby * byla komutativni(vsechno se dokazalo snadnym poprehazovanim pismenek, neni tam zadny chytak)
37. najst inverzny prvok k 26 v monoide Z157(.,1) (pomocou Eu.alg. 151)
38. je (Q,<=(klasicke na racionalnych cislach)) svaz? Ak je, tak ci je modularny a ci je uplny.
39. Popsat maximalni idealy okruhu Z(+, -, ., 0, 1)
40. ja jsem dostal v patek teoretickou otazku "Podilove teleso oboru integrity". Chtel ho sestrojit a dokazat, ze splnuje zakladni podminky. Neco mu stacilo popsat slovne, neco si vyzadal pisemne (treba dokazat, ze pouzita relace ~ je kongruence, ze vznikle F/~ ma korektne definovane operace, a na zaver, ze je + asociativni).
41. Nakreslit svaz všech kongruencí na okruhu Z27(+,*,-,0,1)
42. najdete nejmensi kladny prvek idealu 245.Z320 a cislo x takove, ze x.245=5 //proste zpetny chod eukleidova alg;)
43. Nakreslete Hasseův diagram třicetiprvkové cyklické grupy
44. Dokazte ze P(X)(symetrickaDiference, prunik,Identita, prazdnaMnozina, celaMnozinaX) tvori okruh. P(X) je potencna mnozina, X je minimalne dvojprvkova. Najdete netrivialni Ideal na R a k nemu odpovidajici kongruenci
45. Mejme prvocislo p a mnozinu R={a/b: a,b cela cisla, NSD(b,p)=1}. Dokazte, ze R je podokruh racionalnich cisel
46. Najdi nejmensi prvek k idealu 248Z320 , pak najdi x, x.248=k v Z320
47. rozhodnut. ci je Z4(+,-,0) izomorfne Z8*( . , -1, 1). nie su izomorfne, pretoze Z4 je cyklicka zatialco Z8* nie je (pre kazdy prvok a \in Z8* : <a> = {1, a} ... to si clovek moze vsimnut napr pri samotnom hladani prvkov Z8*)
48. Kolik prvku radu 20 (tj. takovych, ze generuji podgrupu radu 20) obsahuje cyklicka grupa radu 1000 ? je nutne vyuzit Lagrangeovu vetu k overeni toho, ze CG 1000 vubec obsahuje nejakou podgrupu radu 20, potom se ukaze, ze takova podgrupa je tam jen jedna a protoze podgrupa cyklicke je opet cyklicka, tak pocet jejich generatoru je EF(20) (eulerova funkce). EF(20)=8 a to je vysledek.. Je dobry vedet jak je definovana Eulerova funkce.
49. Popiste vsechny kongruence na okruhu celych cisel Z(+,*,-,0,1)
Pouzit vetu 6.2. Nez jsem se do toho pustil, tak mi stihl behem zadavani rict, ze mam pouzit vetu, ktera dava do vztahu kongruence a idelay okruhu. Dokonce mi rekl, ze je to ta posledni veta z toho, co se zatim probralo. Dale mi k tomu rekl, ze idealem Z je podgrupa Z a at si uvedomim, co jsou podgrupy Z. Po tomto to bylo zase na jeden radek.Stacilo napsat zneni vety, kterou jsem si nepamatoval. Nastesti je to analogie s 1.13, tak jsem zkusil:
ρ je kongruence na Z ⇔ [0]ρ je ideal Z a (a,b)∈ ρ ⇔[def.] b-a ∈ [0]ρ.
Kdyz mi navic rekl, ze ideal je podgrupa (podgrupy Z jsou normalni) tak je to v podstate 1.13 (trefa!)
Reseni ulohy je: kZ jsou vsechny podgrupy Z => kZ jsou vsechny idealy Z => kongruence ρ na Z jsou prave: (a,b)∈ ρ ⇔ b-a ∈ kZ neboli k|(b-a)
50. existuje nejaky izomorfizmus mezi libovolnymi dvema nasledujicimi okruhy - Z(+,-,×,1,0) ; R(+,-,×,1,0) ; C(+,-,×,1,0). mezi Z a cimkoli se dal pouzit argument |Z| < |R| resp.|C| (stacilo rict, netreba diagonalizovat ci jinak dokazovat mohutnost |R| ). Btw da se na to jit i vylozene pres homomorfizmy, a sice ze 1 musi jit na 1, 0 na 0 => vsechny zbyle prvky Z uz nutne musi jit na sve "ekvivalenty" v R resp. C ... proto to rozhodne neni zobrazeni na (epimorfizmus). Mezi R a C si staci vsimnout, ze v C je prvek a, pro ktery plati, ze a×a je opacny prvek k 1 (ktera musi jit na 1, protoze homomorfizmus), ale takovy prvek v R fakt není

enjoy
Naposledy upravil(a) WindowLicker dne 23. 2. 2009 21:37, celkem upraveno 1 x.
strky
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 13
Registrován: 24. 1. 2006 15:15
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: Seznam otazek!!!

Příspěvek od strky »

Trocha som ten seznam otazek usporiadal podla tematickych okruhov(Vid priloha). Taktiez som aspom niektore odkazy na vety precisloval podla "algi07.pdf". Ma to este svoje muchy, ale s tym sa uz bude musiet pohrat niekto iny. Bo ja to uz mam uspesne za sebou :-). Zemlicka je fakt v pohode. Na trojku staci priklad plus definicie a vety. Ale on sa vzdy pokusa naviest, aby ste aj tie dokazy vymysleli. Nechava dost casu a dost radi. Takze skusanie je fakt v pohode. Hodne zdaru vsetkym, ktory to maju este pred sebou.
Přílohy
Skuskove otazky_zcasti vypracovane(1).pdf
(46.93 KiB) Staženo 1224 x
peterblack
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 153
Registrován: 10. 12. 2006 19:26

Re: Seznam otazek!!!

Příspěvek od peterblack »

zdravim "trosku" jsem je rozsiril... snad to jeste nekomu pomuze, zemlicka bude jeste vypisovat docela dost terminu

klidne to jeste nejak rozsirte, ja uz na tom asi nijak delat nebudu

dalsi materialy vcetne zrojaku co jsem udelal ja nebo kolegove najdete tady:
http://mff.lokiware.info/Algebra?v=nub
Přílohy
otazky_zcasti_vypracovane.pdf
(152.75 KiB) Staženo 1067 x
maky
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 13
Registrován: 24. 1. 2010 15:25
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: Seznam otazek!!!

Příspěvek od maky »

Pan Žemlička letos dával přesný seznam otázek, ze kterých byla náhodně generována zkouška. Přikládám jen zdroják částečně vypracovaných - jako hrubá kostra snad poslouží, za odpovědi moc neručím. Snad to aspoň trochu pomůže budoucím generacím.
Přílohy
alg.tex
(21.55 KiB) Staženo 468 x
<em></em>
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 7. 2. 2015 12:59
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Seznam otazek!!!

Příspěvek od <em></em> »

Pokud by někdo měl zájem, tady je pdf z "alg.tex od maky » 19. 3. 2012 18:02" s pár poznámkami/doplněnými odpověďmi.
Přílohy
alg-2.pdf
(338.25 KiB) Staženo 458 x
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“