[Zk] 21.12.2007 predtermin - Zemlicka

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
Angwin
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 10
Registrován: 20. 6. 2007 15:30

[Zk] 21.12.2007 predtermin - Zemlicka

Příspěvek od Angwin »

1) teoreticka: Homomorfismy (skladani, inverze, obrazy a vzory podgrup)
2) prakticka: Popiste vsechny kongruence na okruhu celych cisel Z(+,*,-,0,1)

ad 1) 4 jednoradkove dukazy ze zacatku semestru

ad 2) Pouzit vetu 6.2
Nez jsem se do toho pustil, tak mi stihl behem zadavani rict, ze mam pouzit vetu, ktera dava do vztahu kongruence a idelay okruhu. Dokonce mi rekl, ze je to ta posledni veta z toho, co se zatim probralo. Dale mi k tomu rekl, ze idealem Z je podgrupa Z a at si uvedomim, co jsou podgrupy Z. Po tomto to bylo zase na jeden radek.

Stacilo napsat zneni vety, kterou jsem si nepamatoval. Nastesti je to analogie s 1.13, tak jsem zkusil:
ρ je kongruence na Z ⇔ [0]ρ je ideal Z a (a,b)∈ ρ ⇔[def.] b-a ∈ [0]ρ.
Kdyz mi navic rekl, ze ideal je podgrupa (podgrupy Z jsou normalni) tak je to v podstate 1.13 (trefa!)

Reseni ulohy je: kZ jsou vsechny podgrupy Z => kZ jsou vsechny idealy Z => kongruence ρ na Z jsou prave: (a,b)∈ ρ ⇔ b-a ∈ kZ neboli k|(b-a)
Zadny dukaz pouzitych tvrzeni nebyl potreba.

Celkovy dojem ze zkousky:
Otazky se na zacatku losovaly. Casu nechaval kolik kdo chtel. Az si nekdo myslel, ze neco ma (stacila cast), tak mu to dal a precetl si to. Kdyz nemel co delat, tak vsem nabizel, ze s necim muze poradit, pripomenout nejake tvrzeni atd. Na nejakou chvili odesel. Byla to jedna z nejpohodovejsich zkousek. Vubec zadny stres.
Wolda
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 27
Registrován: 25. 10. 2006 22:27
Typ studia: Informatika Ph.D.
Kontaktovat uživatele:

Re: [Zk] 21.12.2007 predtermin - Zemlicka

Příspěvek od Wolda »

Naprosto souhlasim s vybornou atmosferou na zkousce, ja jsem mel:

1) vztahy mezi kongurencemi a homomorfizmy na algebrach (neboli prirozena projekce kongurence je homo, jadro homorfizmu je kongurence) + vztah podalgeber a homomorfizmu
2) existuje nejaky izomorfizmus mezi libovolnymi dvema nasledujicimi okruhy - Z(+,-,×,1,0) ; R(+,-,×,1,0) ; C(+,-,×,1,0)

ad1) staci si dle definic rozepsat co mam a co chci dostat, dukazy z toho jsou prakticky okamzite videt :-)
ad2) mezi Z a cimkoli se dal pouzit argument |Z| < |R| resp.|C| (stacilo rict, netreba diagonalizovat ci jinak dokazovat mohutnost |R| :-) ). Btw da se na to jit i vylozene pres homomorfizmy, a sice ze 1 musi jit na 1, 0 na 0 => vsechny zbyle prvky Z uz nutne musi jit na sve "ekvivalenty" v R resp. C ... proto to rozhodne neni zobrazeni na (epimorfizmus). Mezi R a C si staci vsimnout, ze v C je prvek a, pro ktery plati, ze a×a je opacny prvek k 1 (ktera musi jit na 1, protoze homomorfizmus), ale takovy prvek v R fakt neni :-)
--
Wolda
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“