zap. pisemka 20.12. - problem

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
Uživatelský avatar
Myshaak
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 162
Registrován: 18. 1. 2006 22:29
Typ studia: Informatika Mgr.

zap. pisemka 20.12. - problem

Příspěvek od Myshaak »

Zdar, mam jeden problem v dnesni zapoctove pisemce od Sarocha. (Stacilo mi ziskat cca 1,5 bodu z 10, takze podle toho vypadala moje "priprava" :) ) Problem nastal u prikladu 3:

(3) Spoctete posledni dve cifry cisla 31^(32^33). Napoveda: ve vhodne chvili muze pomoci spocitat zbytky po deleni 20, resp. 25.

Nevite nekdo jak na to? Mne ta napoveda moc nepomohla... :(
Kdyz jsem jel striktne podle algoritmu, co jsme delali:

pocitam vlastne to cislo mod 100 .... Fi(100)=40, NSD(100,31)=1, fajn, takze 31^40 = 1 mod 100
... ted tedy chci pocitat 32^33 mod 40 ... Fi(40)=4*4=16, NSD(32,40)!=1, takze jsem v haji... :/
... kejkleni s 20 nebo 25 moc nepomohly...
... teda akorat 32^33 mod 25 slo spocitat: Fi(25)=20, NSD(25,32)=1, fajn, 32^20 = 1 mod 25
... ... ale 32 je vlaste 7 -> a 7^2 je 49 neboli (-1) ----> 32^33 = 7^33 = (7^2)^16 * 7 = 7 mod 25
... ... Ale to mi pomuze???

anybody help? :)

Jo, kdyz uz jsem u toho, tak pro ouplnost zbytek pisemky, byla celkem lehka, teoreticky jsem mohl odejit po 10 minutach... ;)

(1) Nakreslete Hassuv diagram svazu kongruenci grupy (Z875,+,-,0). (1,5b)
(2) --"-- nejakeho konecneho svazu, ktery neni generovan zadnymi svymi ctyrmi (a mene) prvky. (1b)
(3) viz vyse (2b)
(4) Slovni uloha. Cinsti generalove pocitali vojaky tak, ze je nechali nastupovat do n-stupu. Pocet vojaku pak spocitali z toho, kolik jim pri ruznych nastupech vojaku prebylo. General mel pred bitvou 1200 vojaku. Po bitve nechal zbyle nastoupit do rad po peti a videl, ze zbyli tri. Pak po sesti - opet zbyli tri, po sedmi - zbyl jeden. Nakonec po jedenacti - zadny nezbyl. Kolik generalovych vojaku prezilo bitvu? (2b)
(5) Kolik prvku ma mnozina { (x,y), 0<x,y<=48 & x^28 + xy + y^29 = 2 mod 29 } (2b)
(6) Bonus. Bud R konecny komutativni okruh. Oznacime R* := {r z R; (existuje s z R tz. r.s = 1)}. Overste, ze R* spolus operaci nasobeni tvori grupu. Dale dokazte, ze ma-li R* lichy pocet prvku, potom plati pro kazde x : x+x=0. (1,5b)
"Go for the eyes Boo, go for the eyes! Yeahh!!"
MIKI
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 186
Registrován: 10. 12. 2004 22:35
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: zap. pisemka 20.12. - problem

Příspěvek od MIKI »

Myshaak píše:Zdar, mam jeden problem v dnesni zapoctove pisemce od Sarocha. (Stacilo mi ziskat cca 1,5 bodu z 10, takze podle toho vypadala moje "priprava" :) ) Problem nastal u prikladu 3:

(3) Spoctete posledni dve cifry cisla 31^(32^33). Napoveda: ve vhodne chvili muze pomoci spocitat zbytky po deleni 20, resp. 25.

Nevite nekdo jak na to? Mne ta napoveda moc nepomohla... :(
No ja by som to robil asi nasledovne pocitanim v Z100:
(za spravnost nerucim bo nejak nemam kalkulajdu :))
ked si to rozmyslis pripocitavas vlastne 30 a orezavas (mod 100).
31 (31^1), 61 (31*31), 91 (61*31), 21 (91*31), 51 (21*31), 81, 11, 41, 71, 1 (tu sa ti to zacne cyklit)
z tohoto dostanes, ze po 31^10 budes mat zbytok 1 takze po 31^30 to bude tiez 1 a po 31^32 to bude 61.
a opakujes totozny postup (pripocitavas 60 a orezavas):
61 (61^1), 21 (61*61), 81, 41, 1
z tohoto zase dostanes, ze po 61^5 budes mat zbytok 1 takze po 61^30 to bude tiez 1 a po 61^33 to bude 81 co je pozadovany vysledok pokial som sa nesekol.

// edit
dalsie riesenie je si spravit toto:
31, 61, 91, 21, 51, 81, 11, 41, 71, 1
vies ze mas pocitat:
(31*31*...*31) mod 100 = ?
pocet 31-tiek je 32*33=1056
vies ze po 10-tich sa dostanes na 1. takze:
1056 mod 10=6
a pozries sa do "postupnosti" zbytkov a najdes 6-ty "prvok" t.j 81.

Stastny novy rok ;)
MOTTO-1: Nieje dôležité vedieť ale pochopiť!!!
MOTTO-2: Neuč sa!!! Život ťa naučí. Mňa naučil, že sa mám učiť.
Uživatelský avatar
Myshaak
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 162
Registrován: 18. 1. 2006 22:29
Typ studia: Informatika Mgr.

Re: zap. pisemka 20.12. - problem

Příspěvek od Myshaak »

Hmmm, diky! Urcite zajimava myslenka! :)
Jen si nejsem jist jednou veci, v tom zadani je 31^(32^33) a mne prijde, jako bys resil 31^(32*33)... :) Ale to neva, v nejhorsim pripade se je aspon od ceho odpichnout! ;)

EDIT: Joo, vlastne to potom vubec neni slozity ... vim, ze 31 se opakuje s periodou 10, takze vlastne chci zjistit 32^33 mod 10. No a 32 =10 2.
dostanu 2 -> 4 -> 8-> 6 -> 2 -> atd. ... takze 324k = 6 mod 10 // pripadne se to posune
-takze 3232 by taky melo byt 6 ... no a na 33. tedy 2
...zbytek uz by mel byt easy :)

(Nejsem si tim resenim ted ouplne jisty, spravny vysledek -snad i s postupem- se dozvim dnes)
"Go for the eyes Boo, go for the eyes! Yeahh!!"
MIKI
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 186
Registrován: 10. 12. 2004 22:35
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: zap. pisemka 20.12. - problem

Příspěvek od MIKI »

Myshaak píše: Jen si nejsem jist jednou veci, v tom zadani je 31^(32^33) a mne prijde, jako bys resil 31^(32*33)... :) Ale to neva, v nejhorsim pripade se je aspon od ceho odpichnout! ;)
Ups. :D
Uz ani citat neviem. :roll:

Tak to by potom nejak malo ist cez malu Fermatovu vetu, ci ako sa to vola. :idea:
MOTTO-1: Nieje dôležité vedieť ale pochopiť!!!
MOTTO-2: Neuč sa!!! Život ťa naučí. Mňa naučil, že sa mám učiť.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“