Zkouška - Šaroch 3. 2. 2020
Napsal: 6. 2. 2020 10:57
1. Definice normální podgrupy. Máme f: G -> G' homomorfismus. Dokažte, že Ker(f) je normální podgrupa G. [3 body]
2. Centrum grupy G(*) je Z(G) = { g ∈ G | ∀h ∈ G platí g*h = h*g }. Najděte centrum symetrické grupy S3 s operací skládání. [2 body]
3. Najděte všechna (x, y) ∈ Z^2 takové, že x^6 + x + xy = 1 v mod 7 [3 body]
4. Znění a důkaz vzorečku pro výpočet Eulerovy funkce. [3 body]
5. Spočtěte řád multiplikativní grupy Z16*/<9>. Je tato grupa cyklická? [3 body]
6. Máme okruh R = Z2[x] a ireducibilní polynom x^3 + x + 1 ∈ R. Spočítejte inverz k (x+1) + fR v tělese T = R/fR. [3 body]
Bonus: Máme okruh S(+, -, 0, *, 1) a prvek a ∈ S takový, že a^n = 0. Dokažte, že 1 + a ∈ S*. [2 body]
Známkování:
14+ ... 1
10+ ... 2
6+ ... 3
2. Centrum grupy G(*) je Z(G) = { g ∈ G | ∀h ∈ G platí g*h = h*g }. Najděte centrum symetrické grupy S3 s operací skládání. [2 body]
3. Najděte všechna (x, y) ∈ Z^2 takové, že x^6 + x + xy = 1 v mod 7 [3 body]
4. Znění a důkaz vzorečku pro výpočet Eulerovy funkce. [3 body]
5. Spočtěte řád multiplikativní grupy Z16*/<9>. Je tato grupa cyklická? [3 body]
6. Máme okruh R = Z2[x] a ireducibilní polynom x^3 + x + 1 ∈ R. Spočítejte inverz k (x+1) + fR v tělese T = R/fR. [3 body]
Bonus: Máme okruh S(+, -, 0, *, 1) a prvek a ∈ S takový, že a^n = 0. Dokažte, že 1 + a ∈ S*. [2 body]
Známkování:
14+ ... 1
10+ ... 2
6+ ... 3