Šaroch 23.1.2020

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
Uživatelský avatar
SaNuel
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 8
Registrován: 11. 10. 2018 14:52
Typ studia: Informatika Bc.

Šaroch 23.1.2020

Příspěvek od SaNuel »

1. Definujte ideál na okruhu R. Koľko prvkov má okruh \mathbb{Z}_5[x]/(x^3+2x+3)\mathbb{Z}_5[x]? Ide o teleso?

2. Nájdite všetky n \in \mathbb{N} také, že \phi(n) = 18 (kde \phi je Eulerova funkcia).

3. Nájdite všetky generátory multiplikatívnej grupy telesa \mathbb{Z}_{13}, teda \forall a \in \mathbb{Z}_{13}^*:<a> = \mathbb{Z}_{13}^*.

4. Dokážte, že všetky ideály v okruhu \mathbb{T}[x], kde \mathbb{T} je komutatívne teleso, sú hlavné.

5. Spočítajte 2 posledné cifry 87^{85^{83}}.

6. Uvažujme aditívnu grupu racionálnych čísel (\mathbb{Q},+,-,0). Overte, že pre p prvočíslo je množina L_p=\{ m/n; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, p \nmid n \} jej podgrupou. Ďalej dokážte, že okrem zobrazenia f_0:\mathbb{Q}\rightarrow L_p, ktoré priraďuje nulu každému racionálnemu číslu, neexistuje iný grupový homomorfizmus z \mathbb{Q} do L_p.

7. Koľko obsahuje symetrická grupa S_5 prvkov rádu 6?
Naposledy upravil(a) SaNuel dne 26. 1. 2020 19:48, celkem upraveno 2 x.

Kód: Vybrat vše

if ( exam.date > critical_date ) {
    this.procrastination.enable();
    Steam.launch("Skyrim");
}
else {
    this.panic.start();
    // TODO: This isn't working...
}
[/size]
Uživatelský avatar
SaNuel
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 8
Registrován: 11. 10. 2018 14:52
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Šaroch 23.1.2020

Příspěvek od SaNuel »

1. (?) 125; nejde o teleso, lebo napr. daný polynóm nie je ireducibilný.
2. Skúšaním 19,38,27,54 - tu trik, že ak fí(n) je nepárne číslo, tak jeho dvojnásobok má rovnaké fí, keďže *2 -> *(2-1)*2^0.
3. Skúšaním je 2 jeden z generátorov, následne existuje prirodzený homomorfizmus medzi Z13* a Z12+, teda stačí dosadiť 1 v Z12+ -> 2 v Z13* (1 triviálny generátor aditívnej grupy), potom nájsť generátory Z12+ (GCD(a,12) = 1), teda 1,5,7,11 a tie cez homomorfizmus vyrátať v Z13*, teda 2^1,2^5,2^7,2^11 (mod 13), čo je 2,6,11,7.
4. ?
5. skrz eulerovu vetu ... 7
6. Na overenie dokázať uzavretosť na +, neutr. prvok, inverzy prvkov. Druhá časť sporom (?).
7. Permutácia má rád veľkosti rovnej LCM veľkostí jej cyklov. (eg. (123)(4567)(89) má rád veľkosti LCM(3,4,2) = 12), teda rád 6 majú permutácie s cyklami veľkosti 6 (nie sú v S5) a veľkosti 3 a 2. Počet takých cyklov je potom {5 \choose 3} * 3! / 3 = 20, resp. prvky_v_trojcykle * usporiadanie_vrámci_cyklu / rotácie_v_cykle ( (123) = (312) = (231) ).

Za správnosť neručím, no postup by mohol viac-menej sedieť. Keby dačo, nech ma nejaká dobrá duša opraví, prinajlepšom doplní uspokojivé odpovede za otázničky. Zdar! :D

Kód: Vybrat vše

if ( exam.date > critical_date ) {
    this.procrastination.enable();
    Steam.launch("Skyrim");
}
else {
    this.panic.start();
    // TODO: This isn't working...
}
[/size]
vaclav.volhejn
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 6
Registrován: 17. 1. 2019 16:10
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Šaroch 23.1.2020

Příspěvek od vaclav.volhejn »

Doplním:

2. Abychom zdůvodnili, že jiná řešení neexistují, můžeme provést rozbor případů, kdy si zapíšeme 18 = 2 \cdot 3^2 a uvážíme, že n může být součin nějakých mocnin prvočísla, takže by se mohlo stát třeba n = a \cdot b, \phi(n) = \phi(a) \cdot \phi(b) = 2 \cdot 9, takže by stačilo najít dvě nesoudělná čísla s \phi(a) = 2, \phi(b) = 9. Ukáže se ale, že taková neexistují (\phi(n)=9 ani \phi(n)=3 nenastane).

4. viz skripta, Důsledek 10.3

5. Wolfram souhlasí

6. L_p jsou zlomky, jejichž jmenovatel není násobek p. Jaká je hodnota \phi(\frac{1}{p})? Protože \phi je homomorfismus, platí pro a \in \mathbb{N}identita a \cdot \phi(\frac{1}{ap}) = \phi(\frac{1}{p}) (trochu neformálně, protože násobení "nemám"). Proto pro každé k \in \mathbb{N} platí \phi(\frac{1}{p^k}) = \frac{\phi(\frac{1}{p})}{p^{k-1}}. Když zvolíme dostatečně velké k, je pravá strana zlomek, jehož jmenovatel je násobek p. Aby tohle neznamenalo spor, musí platit \phi(\frac{1}{p}) = 0. Z toho už snadno plyne, že všechny zlomky, jejichž jmenovatel je násobek p, se musí také zobrazit na 0.

Nyní vezmeme \phi(\frac{1}{p}) + \phi(\frac{a}{b}) = 0 + \phi(\frac{a}{b}) = \phi(\frac{b+ap}{pb}), kde jmenovatel b není násobek p. Jmenovatel pravé strany je tedy opět násobek p, takže \phi(\frac{a}{b}) = 0.

7. Souhlas.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“