[Šaroch] 2019 Vzorové zadání zk. písemky

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
Uživatelský avatar
awk
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 56
Registrován: 21. 5. 2018 18:54
Typ studia: Informatika Bc.

[Šaroch] 2019 Vzorové zadání zk. písemky

Příspěvek od awk »

Pro ty, kterým ji Šaroch neposlal emailem.
Prepisemka (2019).pdf
(78.12 KiB) Staženo 311 x
vaclav.volhejn
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 6
Registrován: 17. 1. 2019 16:10
Typ studia: Informatika Bc.

Re: [Šaroch] 2019 Vzorové zadání zk. písemky

Příspěvek od vaclav.volhejn »

Moje řešení:

1. rmod H není kongruence; dokážeme to pomocí věty 8.2, která říká, že ekvivalentně můžeme ověřit, že H není normální podgrupa. To ukážeme např. volbou g = (2\;3), h = (1\;2), pak g \circ h \circ g^{-1} = (2\;3) \circ (1\;2) \circ (2\;3) = (1\;3) \notin H

2. Neexistuje. Kdyby byl \psi homomorfismus, bude \psi(L) podalgebra (podokruh?) H. Protože \psi je prosté a L je těleso, je \abs{\psi(L)} = 8, \abs{\psi(L)^*(\cdot)} = 7 (řád multiplikativní grupy), ale \abs{K*(\cdot)} = 15, což je ve sporu s Lagrangovou větou. Řešení obecnější úlohy (kdy má konečné těleso podtěleso daného řádu?) viz StackExchange: https://math.stackexchange.com/question ... ite-fields

3. Stačí vzít f = GCD(p, q), kde bereme GCD polynomů. Polynomy umíme dělit, takže můžeme použít Eukleidův algoritmus. Vyšel mi polynom f = x + 3 (na násobku nezáleží). Pak f\mathbb{R}[x] \subseteq p\mathbb{R}[x] + q\mathbb{R}[x], protože jak p, tak q jsou násobky f. Opačná inkluze platí díky tomu, že f lze vyjádřit jako "lineární kombinaci" p a q, jak říká rozšířený Eukleidův algoritmus.

4. (viz skripta)

5. Ekvivalentně chceme ukázat a+a=0. Upravíme: a+1 = (a+1)\cdot(a+1) = a \cdot a + a + a + 1 = a + a + a + 1 a když odečteme a+1, dostaneme už a+a = 0.

6. Chceme číslo spočítat mod 100. Spočítáme zbytek mod 4 a mod 25, z toho už pak pomocí čínské zbytkové věty (CRT) dostaneme výsledek mod 100. mod 4 je to zjevně 1.
mod 25 spočítáme tak, že víme 37^{38^{39}} \equiv 12^{38^{39}} \mod 25 a z Eulerovy věty 12^{\phi(25)} = 12^{20} \equiv 1 \mod 25, takže stačí spočítat 38^{39} \mod 20, na což použijeme podobný trik. Dostaneme 38^{39} \mod 20 = 12 a 37^{38^{39}} \mod 25 = 6, celkově je výsledek 81 (můžeme ověřit ve WolframAlpha)
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“