- (1b) Napište Eukleidův algoritmus.
- (1b) Uveďte definici faktorové grupy (vč. značení a definice operací).
- (1b) Je grupa permutací komutativní? Stručně zdůvodněte.
- (1b) Rozhodněte, zda množina lichých čísel tvoří podgrupu grupy . Stručně zdůvodněte.
- (1b) Uveďte všechny (až na isomorfismus) cyklické grupy.
- (1b) Uveďte definici homomorfismu mezi algebrami a .
- (1b) Uveďte 1. větu o isomorfismu pro algebry.
- (1b) Jsou grupy a isomorfní? Stručně zdůvodněte.
- (1b) Popište vztah množiny kongruencí a ideálů okruhu.
- (1b) Definujte Booleovu algebru.
- (2b) Spočítejte, kolik invertibilních prvků obsahuje .
- (2b) Nakreslete svaz kongruencí grupy .
- (2b) Rozhodněte zda grupa obsahuje podgrupu řádu a) 4, b) 6, c) 7. Pokud ano, uveďte příklad, pokud ne, vysvětlete.
- (2b) Generuje prvek 16 grupu ? Generuje prvek 16 grupu ? Stručně zdůvodněte.
- (7b) Je-li konečná cyklická grupa a její podgrupy, dokažte, že . Můžete k tomu použít všechna tvrzení z přednášky (nezapomeňte je správně ocitovat).
- (7b) Dokažte, že aspoň dvouprvkový okruh je (obecně nekomutativní) těleso, právě když obsahuje právě dva levé ideály.
Žemlička 18. 1. 2015
- CiTrus
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 19
- Registrován: 22. 6. 2014 14:05
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: manekp
- Bydliště: Praha
- Kontaktovat uživatele:
Žemlička 18. 1. 2015
Standardní formát. Celkem 32 bodů, na trojku je potřeba alespoň 18.
- CiTrus
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 19
- Registrován: 22. 6. 2014 14:05
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: manekp
- Bydliště: Praha
- Kontaktovat uživatele:
Re: Žemlička 18. 1. 2015
Pro zájemce uvádím jenom stručně své řešení (po opravě).
- viz skripta
- viz skripta
- není, můžeme vzít např. permutace (132) a (13)(2) - jejich složení dá z každé strany jiný výsledek
- netvoří podgrupu, protože není uzavřená (liché číslo + liché číslo je sudé číslo)
- stačilo se odkázat na tvrzení z přednášky o tom, že všechny cyklické grupy jsou isomorfní celým číslům (buď nekonečným nebo konečným)
- viz skripta
- viz skripta
- ano, dle čínské věty o zbytcích je pro 3, 4 (nesoudělná čísla) zobrazení H(x) bijekcí
- tady chtěl napsat tvrzení, že svazy ideálů a kongruencí jsou isomorfní
- viz skripta
- počítáme Eulerovu funkci pro 999, výsledek je 648
- úlohu lze převést isomorfismem na svaz podgrup, potom už není složité nakreslit Hasseho diagram
- a) ano, libovolná grupa generovaná 4-cyklem, b) ano, např. S3, c) ne, protože 7 nedělí 120 (Lagrange)
- první grupu negeneruje, protože gcd(16,170)=2, takže v grupě nikdy nebudou lichá čísla; druhou grupu generuje, protože gcd(16,171)=1
- Lagrange nám zaručí, že velikost průniku je společným dělitelem čísel |A| a |B|; aby se ukázalo, že je největší, předpokládejme, že číslo d je gcd(|A|,|B|); protože G je cyklická, má právě jednu podgrupu D řádu d; protože je navíc d dělitelem obou čísel |A| i |B|, musí D být podgrupou A i B zároveň, tudíž musí ležet v jejich průniku; z toho vyplývá, že d dělí velikost průniku a protože obě tato čísla jsou společní dělitelé čísel |A| a |B|, přičemž d je z definice největší možné číslo s touto vlastnosti, musí se rovnat, proto průnik A, B je roven D a velikost průniku je rovna d = gcd(|A|,|B|).
- viz důkaz ve skriptech