Zemlicka 22.12.2015 predtermín

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
jankasvk
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 14
Registrován: 31. 5. 2015 13:05
Typ studia: Informatika Bc.

Zemlicka 22.12.2015 predtermín

Příspěvek od jankasvk »

Čas: 90 minút
Zúčastnení: 5 (známky: 1,1,2,3,4)

Prvých 10 úloh po 1 bode:
1. Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet.
2. Popište pomocí podgrup všechny ekvivalence slučitelé s grupovou operací.
3. Tvořé všechny funkce \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} se skládaním grupu? Stručně zdůvodněte.
4. Rozhodněte, zda tvoří množina {1,3} podgrupu grupy \mathbb{Z}^*_{10}(\cdot)? Stručně zdůvodněte.
5. Nechť k\in{1,...,n}. Za jakých podmínek <k> = \mathbb{Z}_n? Kolik podgrup řádu k má grupa \mathbb{Z}_n?
6. Existuje mezi každou dvojicí algeber stejného typu nějaký homomorfizmus? Stručně zdůvodněte.
7. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na desetiprvkové algebře.
8. Rozhodněte, zda jsou izomorfní algebry \mathbb{Q}(\cdot,+,1) a \mathbb{Z}(\cdot,+,1). Stručně zdůvodněte.
9. Charakterizujte ideály oboru polynomů bad tělesem.
10. Definujte svaz a úplný svaz pomocí relace uspořádaní.

Ďalšie 4 úlohy po 2 bodoch:
11. Spočtete 13^{-1} v monoidu \mathbb{Z}_{19}(\cdot).
12. Nakreslete svaz kongruencí na algebře \mathbb{Z}_{19}(+,0,1).
13. Kolik podgrup řádu 4,5,6 a 7 má grupa \mathbb{Z}_{1200}(+). Odůvodněte.
14. Existuje nekomutatívni 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.

Dve úlohy po 7 bodov:
15. Dokažte, že je průnik dvou kongruencí na algebře opět kongruence. Ověřte, že sjednocení kongruencí nemusí býť kongruence.
16. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu pro grupy.

Na trojku 18 bodov.
Veľmi príjemná skúška, veľmi pomôže mať preriešené úlohy vopred :), viď iný topic.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“