Stanovský 18.2.

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
rewert
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 13. 1. 2019 12:50
Typ studia: Informatika Bc.

Stanovský 18.2.

Příspěvek od rewert »

K řešení testu používejte pouze tužku papír, žádné zápisky, kalkulačky apod. Pište každou úlohu na jinou stránku. Tvrzení a definice pečlivě formulujte včetně všech předpokladů. Důkazy pište stejně formálně jako ve skriptech. Odpovědi na otázky zdůvodněte. Pokud v argumentu používáte nějaké netriviální tvrzení z přednášky, uveďte to (často budete vyzváni, abyste všechna použitá tvrzení zformulovali).
Časový limit je 120 minut.

1. (9 bodů) Buď R obor integrity. Definujte, co to je podokruh a podtěleso tohoto oboru. Rozhodněte,
které z následujících podmnožin tvoří podokruh, resp. podtěleso, oboru Q[x].
\{f \in Q[x]: f(1)\in Z\}
\{f \in Q[x]: f(1) \geq 0\}
\{f \in Q[x]: deg(f)\leq0\}

2. (16 bodů) Formulujte větu, která charakterizuje gaussovské obory dvěma velmi rozdílnými způsoby (rozveďte i definici gaussovskosti, napište, co přesně znamená existence a jednoznačnost rozkladů). Jednu implikaci si vyberte a dokažte, pomocná lemmata zformulujte.

3. (20 bodů)
a) Popište konstrukci šestnáctiprvkového tělesa. Popište jej jako faktorokruh \!F_{16} = T[\alpha]/(f) pro
konkrétní T, f, napište explicitně, co jsou jeho prvky a jak jsou definovány operace, popište, jak se spočítá inverzní prvek.
b) Je F_{16}[x] eukleidovský obor?
c) Spočtětč NSD(x^5 + a,  x^2 + a) nebo zdůvodněte, Že neexistuje.

4. (11 bodů)
a) Definujte dvěma ekvivalentními způsoby řád prvku.
b) Obsahuje grupa S_8 prvek řádu 14? Obsahuje grupa D_8 prvek řádu 4? Pokud ano, napište jej. Pokud ne, dokažte (pokud používáte nějaké tvrzení z přednášky, dokažte jej také).

5. (16 bodů)
a) Formulujte a dokažte Burnsideovu větu.
b) Kolika způsoby lze obarvit stěny pravidelného čtyřstěnu k různými barvami? Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud se liší otočením čtyřstěnu.

6. (18 bodů) Hloupý student inženýrství špatně přečetl skripta z algebry a implementoval Diffe-Hellmanův algoritmus s grupou Z_{1009} = \langle100\rangle. Číslo 1009 je prvočíslo, to mu strýček Wolfram poradil dobře.
a) Alice poslala Bobovi hodnotu 10, Bob poslal Alici hodnotu 1000. Zjistěte heslo.
b) Studentovi poraďte, v čem udělal chybu a jak byste to udělali vy. Poradit můžete i Bobovi.
c) Mně vysvětlete, proč je 100 generátor té grupy a kolik generátorů tato grupa obsahuje.



hodnocení 55-67-80 (+ 10 za kvizy)
2 hodiny času nebo 3 x 45 min pro virtuální zkoušku
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“