Stanovský 9.2.2021

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.

Stanovský 9.2.2021

Příspěvekod Lukaskub » 16. 2. 2021 12:48

1) Mějme f, g, h, m \in Q[x], kde m, h jsou nesoudělné. Dokažte, že pokud je fh \equiv gh mod m implikuje f \equiv g mod m. Napište obor integrity, kdo tato implikace neplatí.

2)
a) Platí v Z_7[x] Bezoutka? Formulace/protipříklad
b) Najděte všechny polynomy f \in Z_7[x], pro které platí x f \equiv 2 mod x^3 + x + 1

3) Najděte rozklad polynomu \alpha x^2 + x + (\alpha + 1) v F_9[x]. Kde F_9 = Z_3\[\alpha\]/(\alpha^2 + 1).

4)
a) Reed-Salomonovy kódy. Co to je, jak a proč.
b) Dekódujte a odhalte chybu.

5)
a) Existuje šedesátiprvková grupa s prvek řádu 20? Nez něj? Důkaz/protipříklad.
b) Buď G grupa, platí \langle a, b \rangle_G = {a^k, b^k, k \in Z}? Důkaz/protipříklad.

6) Působení G = A_5 na X = \{1, 2, 3, 4, 5\}^2 uspořádaných dvojic, kde \pi((x, y)) = (\pi(x), \pi(y)).
Kolik je orbit? Jaké mají prvky?
Co je G_{(1, 2)} ? A co je X_{(1 2 3)}?
Napište a dokažte lemma o vztahu stabilizátoru a orbity.

===================

Odpovědi/nástřely:

1)
Q[x] je Gaussovský, takže jednoznačné rozklady. Implikace platí z rozkladů prvků h(f-g), (f-g) a h.
Neplatí v OI Z[\sqrt(5)], který nemá jednoznačné rozklady -> 2 | (\sqrt(5) + 1)(\sqrt(5) - 1), ale nedělí ani jeden z těch dvou.

2)
a) Z_7 je těleso, Z_7[x] je tedy euklidovský a tedy platí v něm Bezoutka. V euklidově algoritmu jenom musím počítat s normou.
b) f = 5x^2 + 5 + k(x^3 + x + 1)pro k \in Z_7[x]

3)
Polynom je irreducibilní prvek.
Žádný z 9-ti prvků Z F_9 není jeho kořen, tudíž nelze rozložit.

4)
a) Samopravné kódy fungující na interpolaci polynomů.
b) Stačí si tipnout funkci, která prochází všemi body až na jeden.

5)
a) Existují obě. Grupa G = Z_{60} má prvek řádu 20, Grupa G = Z_2 \times Z_2 \times Z_3 \times Z_5 ho nemá.
b) Neplatí, \langle a, b \rangle_G musí obsahovat a (a taky b), ale to není obsaženo v {a^k, b^k, k \in Z}.

6)
Dvě orbity - pět prvků (a, a) a dvacet prvků (a, b). (a, a) se nezobrazí na nic jiného než jiné (b, b), zatímco pro libovolné a, b, c umím najít permutaci takovou, abych z (a, b) vygeneroval (a, c) nebo (c, b).
G_{(1, 2)} jsou identita a trojcykly neobsahujíci 1 nebo 2.
X_{(1 2 3)} jsou dvojice neobsahující 1, 2 nebo 3.
Lukaskub
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 2
Registrován: 25. 1. 2019 15:27
Typ studia: Informatika Bc.

Zpět na MAI062 Algebra I

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 3 návštevníků

cron