20.6.

20.6.

Příspěvekod Martin » 20. 6. 2006 16:31

Početní část:
1) Spočtěte reálnou část Fourierova obrazu fce f=Chi(0,1). (Tj. f je charakteristická fce otevřeného intervalu (0,1).) [4]
2) Nechť M = {[x,y,z] : x^2 + y^2 + y^2 <= 1} a f(x,y,z) = x - 2y + 2z. Spočtěte supremum a infimum fce f na množině M. Podrobně zdůvodněte a ověřte předpoklady užitých vět. Tyto věty zformulujte bez důkazu (pokud je nezformulujete, strhává se 1,5 b.) [7]
3) Vyšetřete lokální (i globální) extrémy funkce f(x,y) = x*y*ln(x^2 + 2y^2). Srozumitelně svůj postup vysvětlete. [9]

Teoretická část:
1)
Napište definice totálně omezeného metrického prostoru a absolutně spojité funkce. [4]
2)
Napište znění Diniho kritéria pro konvergenci Fourierovy řady a jeho důsledků. [3]
3)
Nechť X = l_2 je reálný Hilbertův prostor a Z = {(x1, x2, ...) v X : Suma od jedné do nekonečna z x_k / k^2 je rovna nule.}. Podrobně zdůvodněte, že X a Z jsou izometrické metrické prostory. Uveďte věty (tvrzení) ze 4. semestru, které používáte. Předpoklady podrobně ověřte. [4]
4) A)
Zforumulujte Weierstrassovy věty o aproximaci a Fejérovu větu. Pojmy ze 4. semestru užité ve formulaci definujte. Weierstrassovy věty podrobně dokažte na základě Fejérovy věty. [5]
4) B)
Definujte pojem diferenciálu k-tého řádu funkce n proměnných. Napište znění Taylorovy věty s Lagrangeovým tvarem zbytku (pro funkce více proměnných). Napište znění Taylorovy věty s Peanovým tvarem zbytku a dokažte ji pomocí T.V. s Lagr. tvarem zbytku. Dokažte Taylorovu větu s Lagrangeovým tvarem zbytku.
Znění vět (tvrzení) ze 4. semestru, které jste použili, přesně zformulujte bez důkazu. [9]
5*)
Nechť X = L_1([0,1]) a A je podmnožina X je množina (tříd ekvivalence) funkcí tvaru f(x) = cos(ax) + b, kde a^2 + b^2 = 1, a,b jsou reálná. Je A souvislá podmnožina prostoru X? Podrobně zdůvodněte; používáte-li věty (tvrzení) ze 4. semestru, zformulujte je bez důkazu. [4]

V obou částech 4. příkladu bylo potřeba držet se stanoveného pořadí (v tomto pořadí jsem to tam napsal). Je to tak zařízené prý kvůli tomu, že se údajně stalo, že si někdo prostě přinesl již vypracovaný důkaz a pak to jenom vyměnil. Takhle to není tak jednoduché; na dodržení toho pořadí trval.[/u][/b]
"Endure. In enduring grow strong."
Uživatelský avatar
Martin
Supermatfyz(ák|ačka)
 
Příspěvky: 332
Registrován: 19. 2. 2005 20:23
Typ studia: Matematika Ph.D.

Zpět na Analýza 2b

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník