Zkouska 5. 6.

Zkouska 5. 6.

Příspěvekod Milan » 5. 6. 2006 12:26

Pocetni cast:

1. Spoctete hodnotu d_h^2 f(a) pro f(x,y) = y^3+x^2y, a = (1,1), h = (1,3).

2. Necht M = {(x,y) \in R^2: x^4+y^4 <= 4xy} a f(x,y) = (x+y)^2. Spoctete S = sup_{t \in M} f(t), I = inf_{t \in M} f(t). Podrobne zduvodnete. Overte predpoklady pouzitych vet. (Tyto vety formulujte bez dukazu).

3. Napiste funkci sin (x) na intervalu [0,pi] jako soucet kosinove rady. Tuto jeji vlastnost dokazte. Napiste prislusnou klasickou Parsevalovu rovnost. Napiste zneni vet, ktere uzivate, predpoklady overte.


Teoreticka cast:

1. Napiste definice:
a) totalne omezeneho metrickeho prostoru,
b) Fourierovy transformace.

2. Napiste zneni Weierstrassovych vet o aproximaci.

3. Necht B = {(k
, (k+1)
+n^{-1
}) : k, n \in N}. Je B baze otevrenych mnozin prostoru ((0,\infty), \varrho_e) ? Sve tvrzeni podrobne dokazte.

4.A.
Necht (u_n)_{n=1}^\infty je ortonormalni posloupnost v komplexnim Hilbertove prostoru X a x \in X. Necht \sum_{n=1}^\infty c_nu_n je Fourierova rada x vzhledem k (u_n). Dokazte, ze tato rada konverguje. Pouzivate-li vety (tvrzeni) ze 4. semestru, dokazte je.

4.B.
i) Napiste zneni Diniho kriteria pro konvergenci Four. rad a jeho dusledku.
ii) Diniho kriterium dokazte (podrobne).
iii) Vsechna fakta ze 4. semestru, ktera ve ii) pouzivate zformulujte bez dukazu.
iv) Dokazte dusledky Diniho kriteria.

5. Necht X = L^2 (-pi,pi) je realny Hilbertuv prostor a Y = {f \in X: \int_{-\pi}^\pi f(x) cos^2 x dx = 0}. Najdete ortonorm. bazi Hilbertova prostoru Y slozeno z trigonometrickych polynomu. Ze je to baze a Y je Hilbertuv prostor, dokazte.
Milan
Matfyz(ák|ačka) level I
 
Příspěvky: 6
Registrován: 21. 6. 2005 13:47

Zpět na Analýza 2b

Kdo je online

Uživatelé procházející toto fórum: Žádní registrovaní uživatelé a 1 návštěvník