od Janey » 9. 6. 2010 21:55
I)
1) Napište, jak se definuje Möbiova grupa jako zobrazení rozšířené komplexní roviny do sebe; ukažte, že je to grupa.
2) Popište generátory Möbiovy grupy (ukažte, že generují celou grupu) a ukažte, že se jedná o konformní zobrazení.
3) Definujte dva modely hyperbolické geometrie – Poincarého model hyperbolické roviny (na jednotkovém kruhu) a model definovaný na horní polorovině. Popište prvek Möbiovy grupy, který je izometrií mezi těmito dvěma modely.
II)
1) Definice tečného prostoru k regulární ploše v R3 v daném bodě. Jak se volí báze tečného prostoru v závislosti na volbě parametrizace a jak spolu tyto význačné báze souvisí pro dvě různé parametrizace.
2) Definujte 1. fundamentální formu na tečném prostoru regulární plochy v R3 a její vyjádření v bázi určené volbou parametrizace.
3) Definujte plošný integrál z funkce.
4) Nutná a postačující podmínka, aby zobrazení mezi dvěma regulárními plochami zachovávalo velikost plochy + důkaz.
III)
1) Znění kosinové a sinové věty ve sférické geometrii.
2) Pythagorova věta ve sférické geometrii.
3) Důkaz kosinové věty.
4) Velikost plochy trojúhelníka ve sférické geometrii + důkaz.
[b]I)[/b]
1) Napište, jak se definuje Möbiova grupa jako zobrazení rozšířené komplexní roviny do sebe; ukažte, že je to grupa.
2) Popište generátory Möbiovy grupy (ukažte, že generují celou grupu) a ukažte, že se jedná o konformní zobrazení.
3) Definujte dva modely hyperbolické geometrie – Poincarého model hyperbolické roviny (na jednotkovém kruhu) a model definovaný na horní polorovině. Popište prvek Möbiovy grupy, který je izometrií mezi těmito dvěma modely.
[b]
II)[/b]
1) Definice tečného prostoru k regulární ploše v R3 v daném bodě. Jak se volí báze tečného prostoru v závislosti na volbě parametrizace a jak spolu tyto význačné báze souvisí pro dvě různé parametrizace.
2) Definujte 1. fundamentální formu na tečném prostoru regulární plochy v R3 a její vyjádření v bázi určené volbou parametrizace.
3) Definujte plošný integrál z funkce.
4) Nutná a postačující podmínka, aby zobrazení mezi dvěma regulárními plochami zachovávalo velikost plochy + důkaz.
[b]
III)[/b]
1) Znění kosinové a sinové věty ve sférické geometrii.
2) Pythagorova věta ve sférické geometrii.
3) Důkaz kosinové věty.
4) Velikost plochy trojúhelníka ve sférické geometrii + důkaz.