Fórum studentů MFF UK

Pokusím se si vzpomenout na zadání:
1) Nechť [latex]R[/latex] je obor integrity a [latex]f[/latex] nenulový symetrický polynom z [latex]S_R[x_1, \dots, x_n][/latex] takový, že [latex]ht(f) = (k_1, \dots k_n)[/latex]. Dokaže, že platí [latex]k_1 \geq k_2 \geq\dots\geq k_n[/latex]. (6 bodů)
2) Každé komutativní těleso charakteristiky O je perfektní (bylo to více rozepsáno). (7 bodů)
3) Nechť [latex]T\subsetneq U[/latex] jsou konečná tělesa řádu p. Dokažte, že potom existují čísla m a n taková, že [latex]\vert T\vert = p^m[/latex] , [latex]\vert U\vert = p^n[/latex] a platí [latex]m\vert n[/latex]. (7 bodů)
4) Nechť R je obor integrity splňující podmínku (D). Ukažte, že potom pojmy ireducibilní prvek a prvočinitel splývají. (8 bodů)
5) Pro svaz [latex](L, \wedge, \vee )[/latex] platí [latex]x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)[/latex]. Dokažte, že potom [latex]x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)[/latex]. (6 bodů)

Řešení (podle skript z http://www.primat.cz)
1) Lemma 7.14
2) Důsledek 8.14
3) Plyne z poznatků o konečných tělesech.
4) Lemma 5.8, Lemma 5.22
5) Věta 12.16