od Džasko » 28. 5. 2008 09:08
Když víme, že X_1,...,X_n mají Alt(p), tak jejich součet má Bi(n,p). A ten průměr X_n s pruhem je součet dělený n, takže bude mít taky Bi(n,p). Pak potřebuješ spočítat střední hodnotu X_n(1 - X_n) (X_n je s pruhem), která se má rovnat p(1-p) aby byl odhad rozptylu nestranný (protože rozptyl alternativního je p(1-p)).
Takže se počítá EX_n - E(X_n)^2 (všude X_n s pruhem). Z EX_n můžeš vytknout 1/n a počítáš E(suma X_i), což vyjde np. Podobně z E(X_n)^2 vytkneš (1/n)^2 a počítáš E(suma X_i)^2. To je popsáno na straně 28 ve skriptech (suma X_i má Bi(n,p)). Takže to je dáš dohromady a jestli si dobře pamatuju, vyjde, že odhad není nestranný.
Konzistence se udělá podle věty 4.8 (SZVČ pro stejně rozdělené), kde dostaneš, že X_n s pruhem konverguje k EX_1, což je p. Tím pádem i X_n(1 - X_n) koverguje k p(1-p) s pravděpodobností 1 a odhad je konzistentní.
Když víme, že X_1,...,X_n mají Alt(p), tak jejich součet má Bi(n,p). A ten průměr X_n s pruhem je součet dělený n, takže bude mít taky Bi(n,p). Pak potřebuješ spočítat střední hodnotu X_n(1 - X_n) (X_n je s pruhem), která se má rovnat p(1-p) aby byl odhad rozptylu nestranný (protože rozptyl alternativního je p(1-p)).
Takže se počítá EX_n - E(X_n)^2 (všude X_n s pruhem). Z EX_n můžeš vytknout 1/n a počítáš E(suma X_i), což vyjde np. Podobně z E(X_n)^2 vytkneš (1/n)^2 a počítáš E(suma X_i)^2. To je popsáno na straně 28 ve skriptech (suma X_i má Bi(n,p)). Takže to je dáš dohromady a jestli si dobře pamatuju, vyjde, že odhad není nestranný.
Konzistence se udělá podle věty 4.8 (SZVČ pro stejně rozdělené), kde dostaneš, že X_n s pruhem konverguje k EX_1, což je p. Tím pádem i X_n(1 - X_n) koverguje k p(1-p) s pravděpodobností 1 a odhad je konzistentní.