Fórum studentů MFF UK

Skupina A:
1. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (nad tělesem reálných čísel). (4)
Zformulujte a dokažte Trojúhelníkovou nerovnost. (3)

2. K řádkovému prostoru matice
[latex]A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 2 \\ 3 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & 5 & -1 & 3 \end{pmatrix}[/latex]
najděte ortonormální bázi jeho ortogonálního doplňku. (6)

3. Buď
[latex]A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
matice kvadratické formy vzhledem k bázi B. Nechť [latex]\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3[/latex] jsou vlastní čísla A. Najděte bázi B takovou, aby matice formy vzhledem ke kanonické bázi byla
[latex]\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}[/latex]. (6)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Je-li [latex]A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/latex] a [latex]rank(A)<n-1[/latex], pak [latex]adj(A)=0[/latex]. (2)
(b) Nechť matice A řádu 3 má jediné vlastní číslo 2, pak není diagonalizovatelná. (2)
(c) Matice A je positivně definitní
[latex]A=\begin{pmatrix} 12 & 3 & 2 & 3 & 3 \\ 3 & 7 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & -9 & e \\ 3 & -1 & 1 & e & 8 \end{pmatrix}[/latex]. (2)
(d) Jsou-li [latex]b,c: V \times V \rightarrow \mathbb{R}[/latex] dvě bilineární formy, pak [latex]b+c[/latex] je také bilineární forma. (2)