Tak abych taky někdy něčím přispěla. Zadaní nevím s jistotou přesně (stejně tak body), ale nejspíš to bylo takhle:
(1) K je komutativní těleso a R = K[x]. Dokažte, že R je OIHI, právě když K je těleso. (7 bodů)
(2) T je konečné (a tedy komutativní) těleso. Dokažte, že multiplikativní grupa T je cyklická. (8 bodů)
(3) T je komutativní těleso. Mějme dán f z T[x], deg(f) >= 1. U je rozkladové nadtěleso f nad T. Dokažte, že [U:T] < nekonečno. (5 bodů)
(4) A <= B <= C (podmnožítka) jsou komutativní tělesa. C, resp. B je algebraickým rozšířením B, resp. A. Dokažte, že C je algebraickým rozšířením A. (7 bodů)
(5) R je Gaussův obor integrity. Dokažte, že libovolný průnik hlavních ideálů je též hlavním ideálem v R. (7 bodů)
Poznámky:
Bylo nás tam málo už na začátku (20 až 25 ?). Písemku dopsalo asi pět lidí, odevzdali dva. A Trlifaj původně nevěděl, jestli to stihne opravit do neděle
. Nakonec to slíbil do druhého dne. Chyběl očekávaný "početní" příklad. Takže pětkrát dokažte a jen (2) dokázal na přednášce.
Bodování:
24 - 34 výborně, 18 - 23 velmi dobře, 12 - 17 dobře
Tak abych taky někdy něčím přispěla. Zadaní nevím s jistotou přesně (stejně tak body), ale nejspíš to bylo takhle:
(1) K je komutativní těleso a R = K[x]. Dokažte, že R je OIHI, právě když K je těleso. (7 bodů)
(2) T je konečné (a tedy komutativní) těleso. Dokažte, že multiplikativní grupa T je cyklická. (8 bodů)
(3) T je komutativní těleso. Mějme dán f z T[x], deg(f) >= 1. U je rozkladové nadtěleso f nad T. Dokažte, že [U:T] < nekonečno. (5 bodů)
(4) A <= B <= C (podmnožítka) jsou komutativní tělesa. C, resp. B je algebraickým rozšířením B, resp. A. Dokažte, že C je algebraickým rozšířením A. (7 bodů)
(5) R je Gaussův obor integrity. Dokažte, že libovolný průnik hlavních ideálů je též hlavním ideálem v R. (7 bodů)
Poznámky:
Bylo nás tam málo už na začátku (20 až 25 ?). Písemku dopsalo asi pět lidí, odevzdali dva. A Trlifaj původně nevěděl, jestli to stihne opravit do neděle :). Nakonec to slíbil do druhého dne. Chyběl očekávaný "početní" příklad. Takže pětkrát dokažte a jen (2) dokázal na přednášce.
Bodování:
24 - 34 výborně, 18 - 23 velmi dobře, 12 - 17 dobře