od quark87 » 20. 9. 2010 21:05
1.Príklad: Rozhodnúť, či sú alebo nie sú zadané funkcie charakteristickými funkciami nejakých náhodných veličín a svoje tvrdenie zdôvodniť
(a)
[ÁNO]
(b)
[NIE, imaginárna časť nie je lichá]
(c)
[NIE, v 0 je
, ale nie všade na R]
(d)
[ÁNO]
(e)
[ÁNO]
2.Príklad:
nezávislé náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením so strednou hodnotou
(a) Rozhodnite, či je nasledujúci rad sčítateľný s.j.
(b) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje s.j. Ak áno, spočítajte príslušnú limitu.
(c) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje v distribúcii. Ak áno, spočítajte príslušné limitné rozdelenie
3.Príklad: Reálne náhodné veličiny
sú nezávislé a obe majú rovnomerné rozdelenie na intervale
. Spočítajte
(a)
(b)
Maximum bolo 30 bodov, na prejdenie na ústnu časť stačilo 15,5 bodu. Na ústnej som dostal Feller-Lindebergovu CLV a vzťah konvergencie v
a v pravdepodobnosti, obe samozrejme aj s dôkazmi
Času na vypracovanie dostanete toľko, koľko potrebujete.
1.Príklad: Rozhodnúť, či sú alebo nie sú zadané funkcie charakteristickými funkciami nejakých náhodných veličín a svoje tvrdenie zdôvodniť
(a)[latex]f_{1}(t)=\frac{2}{4-e^{-|t|}} + \frac{1}{4-cos(t)}[/latex] [ÁNO]
(b)[latex]f_{2}(t)=\frac{cos(t)}{1+it^{2}}[/latex] [NIE, imaginárna časť nie je lichá]
(c)[latex]f_{3}(t)=max\{e^{-t^{2}},cos(t^{2})\}[/latex] [NIE, v 0 je [latex]C^{\infty}[/latex], ale nie všade na R]
(d)[latex]f_{4}(t)=exp\{-sin^{2}(t)\}[/latex] [ÁNO]
(e)[latex]f_{5}(t)=\frac{1}{4} + \frac{1}{2}e^{-it -t^{2}} + \frac{1}{4}\frac{1}{1+t^2}[/latex] [ÁNO]
2.Príklad: [latex]X_{n}[/latex] nezávislé náhodné veličiny s exponenciálnym rozdelením so strednou hodnotou [latex]n^{3}[/latex]
(a) Rozhodnite, či je nasledujúci rad sčítateľný s.j.
[latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{X_{n}^{2}}{n^{8}}[/latex]
(b) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje s.j. Ak áno, spočítajte príslušnú limitu.
[latex]Y_{n}=\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}\frac{X_{k}^{2}}{k^{4}}[/latex]
(c) Rozhodnite, či uvedená postupnosť konverguje v distribúcii. Ak áno, spočítajte príslušné limitné rozdelenie
[latex]Z_{n}=\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\sum_{k=1}^{n}\frac{X_{k}^{2} - EX_{k}^{2}}{k^{4}}[/latex]
3.Príklad: Reálne náhodné veličiny [latex]X, Y[/latex] sú nezávislé a obe majú rovnomerné rozdelenie na intervale [latex](0,1)[/latex]. Spočítajte
(a) [latex]E \left[(X+Y)^{2}|X-Y \right][/latex]
(b) [latex]E\left[(X+Y)^{2}| |X-Y| \right][/latex]
Maximum bolo 30 bodov, na prejdenie na ústnu časť stačilo 15,5 bodu. Na ústnej som dostal Feller-Lindebergovu CLV a vzťah konvergencie v [latex]\textrm{L}_{p}[/latex] a v pravdepodobnosti, obe samozrejme aj s dôkazmi :) Času na vypracovanie dostanete toľko, koľko potrebujete.