od quark87 » 31. 1. 2012 18:16
Príklad 1: Nech
je uzavretá a konvexná,
je konvexná. Dokážte, že potom buď
je prázdna množina alebo uzavretý priestor alebo celý priestor
.
Príklad 2: Určiť duálnu úlohu k úlohe LP
Príklad 3: Uvažujme maticovú hru s výplatnou maticou
Určite cenu tejto hry a optimálne stratégie oboch hráčov.
Príklad 4: Vyriešením (LPO) nájsť optimálne riešenie úlohy
"Návod" k riešeniu:
1. Nezabudnúť prediskutovať prípady, keď je C prázdna alebo celý prostor, inak môžeme obe množiny neostro oddeliť.
2. Štandartný príklad, do duálnej úlohy nepísať omezenia na parametre, nemá to zmysel.
3.
4. Učelová funkcia je lineárna, množina prípustných riešení je konvexná, teda vyriešením LPO dostane optimálne riešenie úlohy. Pri riešení treba diskutovať vzťah
a
, z toho dostaneme optimálne riešenie.
PS: Ak by niekto vedel, ako odstrániť to <br/>, tak mi, prosím, napíšte
Príklad 1: Nech [latex]\mathrm{C}\subset \mathrm{R}^{n}[/latex] je uzavretá a konvexná, [latex]\mathrm{R}^{n}\setminus \mathrm{C}[/latex] je konvexná. Dokážte, že potom buď [latex]\mathrm{C}[/latex] je prázdna množina alebo uzavretý priestor alebo celý priestor [latex]\mathrm{R}^{n}[/latex].
Príklad 2: Určiť duálnu úlohu k úlohe LP
[latex]\begin{align} \textrm{min} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}i^2x_{ij}
otag \\
\textrm{za podmienok} \quad \sum_{j=1}^{m} x_{ij} \leq \textrm{b}_{i}, \quad \forall i=1,...,n
otag \\
\sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} x_{ij}= 1
otag \\
x_{ij} \geq 0,\quad i=1,...,n,\quad j=1,...,m
otag \\
\textrm{parametre spĺňajú} \quad \sum_{i=1}^{n} b_{i} \geq 1,\quad b_{i} \geq 0,\quad \forall i=1,...,n
otag
\end{align}[/latex]
Príklad 3: Uvažujme maticovú hru s výplatnou maticou
[latex]\left( {\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
4 & 5 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 4 & -1 \end{array} } \right)[/latex]
Určite cenu tejto hry a optimálne stratégie oboch hráčov.
Príklad 4: Vyriešením (LPO) nájsť optimálne riešenie úlohy
[latex]\begin{align}
\textrm{min} \quad x+y
otag \\
\textrm{za podmienok} \quad \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \leq \frac{1}{a^{2}}
otag \\
x \geq \epsilon, \quad x \geq \epsilon, \quad > 0, \quad \epsilon > 0
otag \end{align}[/latex]
"Návod" k riešeniu:
1. Nezabudnúť prediskutovať prípady, keď je C prázdna alebo celý prostor, inak môžeme obe množiny neostro oddeliť.
2. Štandartný príklad, do duálnej úlohy nepísať omezenia na parametre, nemá to zmysel.
3. [latex]\hat{x}=\left(0,\frac{2}{7},\frac{5}{7},0\right)^{T},\quad \hat{y}=\left(0,\frac{2}{7},\frac{5}{7}\right)^{T},\quad v=\frac{10}{7}[/latex]
4. Učelová funkcia je lineárna, množina prípustných riešení je konvexná, teda vyriešením LPO dostane optimálne riešenie úlohy. Pri riešení treba diskutovať vzťah [latex]\epsilon[/latex] a [latex]\sqrt{2}a[/latex], z toho dostaneme optimálne riešenie.
PS: Ak by niekto vedel, ako odstrániť to <br/>, tak mi, prosím, napíšte :)