Je množina všech polynomů v (C[0,1], sup) otevřená?
Nikoli. Vezměme třeba konstantní nulovou funkci y=0 (nejhezčí to polynom) a libovolné ε. Pak pila s amplitudou ε/2 jdoucí podél osy x spadne do B(y=0, ε), ale přitom to není polynom (třebas proto, že není v C
1).
Může být otevřená množina spočetná?
Pokud je myšleno nejvýše spočetná (tak analýzníci tohle slovo zpravidla používají), pak samozřejmě — taková prázdná množina je vždycky otevřená. Pokud je myšleno právě spočetná (tj. s mohutností \aleph_0), pak taky — celý nosič libovolného spočetného metrického prostoru tvoří otevřenou množinu. V takovém (R
n, eukl) už to ale nejde (na to se ale nikdo neptal).
Může být otevřená množina nespočetná?
Jasně, jakýkoli otevřený interval v (R, eukl) je otevřený a nespočetný.