Množina všech polynomů - otázka

Odeslat odpověď

Smajlíci
:D :) :( :o :shock: :? 8) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen:

BBCode je zapnutý
[img] je zapnutý
[flash] je vypnutý
[url] je zapnuté
Smajlíci jsou zapnutí

Přehled tématu
   

Rozšířit náhled Přehled tématu: Množina všech polynomů - otázka

Re: Množina všech polynomů - otázka

od hippies » 21. 1. 2008 23:49

Jestli si jeste dobre pamatuju definici otevrene mnoziny (a tato se shoduje s vasi:D), tak ano,ano.

EDIT: aa, koukam prisels na jeste patologictejsi pripady nez ja:) .. ja si myslel na diskretni prostory

Re: Množina všech polynomů - otázka

od David_ » 21. 1. 2008 23:28

Je množina všech polynomů v (C[0,1], sup) otevřená?
Nikoli. Vezměme třeba konstantní nulovou funkci y=0 (nejhezčí to polynom) a libovolné ε. Pak pila s amplitudou ε/2 jdoucí podél osy x spadne do B(y=0, ε), ale přitom to není polynom (třebas proto, že není v C1).
Může být otevřená množina spočetná?
Pokud je myšleno nejvýše spočetná (tak analýzníci tohle slovo zpravidla používají), pak samozřejmě — taková prázdná množina je vždycky otevřená. Pokud je myšleno právě spočetná (tj. s mohutností \aleph_0), pak taky — celý nosič libovolného spočetného metrického prostoru tvoří otevřenou množinu. V takovém (Rn, eukl) už to ale nejde (na to se ale nikdo neptal).
Může být otevřená množina nespočetná?
Jasně, jakýkoli otevřený interval v (R, eukl) je otevřený a nespočetný.

Re: Množina všech polynomů - otázka

od Ondřej » 21. 1. 2008 20:35

Řekl bych, že není otevřená...

Když si vezmeš libovolný polynom a libovolné epsilon, určitě najdeš spojitou funkci, která není polynomem, avšak v supremu se od daného polynomu nevzdálí o dané epsilon. Tedy pro každý polynom platí, že kolem něj (v prostoru spojitých funkcí) neexistuje epsilonová "kulička" tvořená pouze polynomy.

Ale jistý si tím nejsem :(

Když už jsme u Pickových klíčových otázek - taky mám pár "mezer ve vzdělání", např.:

Může být otevřená množina spočetná?
Může být otevřená množina nespočetná?

(mám své tipy na odpověď, ale byl bych radši, kdyby mi je někdo potvrdil nebo dokonce podložil pádnými argumenty)

Množina všech polynomů - otázka

od Soowa » 21. 1. 2008 12:44

Ahoj, chtěl bych se zeptat, jestli někdo, prosím, neví odpověď na jednu Pickových "klíčových otázek" - je množina všech polynomů v C[0,1],sup otevřená? Vím že je hustá, tudíž není uzavřená, tudíž není kompaktní, ale jak je to s otevřeností netuším...

Nahoru