od awk » 8. 9. 2018 14:13
[list=1]
[*][i](5 bodů)[/i] Posloupnost [latex]\{x_n\}_{n=0}^{\infty}[/latex] je zadána následujícím předpisem: [latex]x_0=2, x_1=3[/latex] a [latex]x_n = 6x_{n-1} - 9x_{n-2}[/latex] pro [latex]n \ge 2[/latex]. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé celé číslo [latex]n \ge 0[/latex] platí [latex]x_n = 3^n (2-n)[/latex].
[*][i](5 bodů)[/i] Určete infimum a supremum množiny [latex]M[/latex] a rozhodněte, zda je to minimum, respektive maximum. Svou odpověď patřičně zdůvodněte.
[latex]M = \{ \frac{n}{n \cdot m}\,|\,n,m \in \mathbb{N} \}[/latex]
[*][i](5 bodů)[/i] Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
[latex]\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9 n^4-5 n^2+3 n}-3 n^2+\frac{n+2}{3 n-3^{-n}}\right)[/latex]
[*][i](5 bodů)[/i] Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
[latex]\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{(n!)^2}{(2 n)!}[/latex][/list]
K úspěšnému napsání je třeba získat 10 bodů z 20.