Fórum studentů MFF UK

Dnešní zápočtový test:

[b]Příklad 1. (13 bodů)[/b] Adam a Blanka si vymysleli sázku. V krabici je 10 bílých a 5 černých koulí. Adam z nich náhodně vybere 3 a vloží je (bez podívání na barvu) do osudí. Blanka má z osudí vytáhnout jednu kouli. Pokud bude bílá vyhrává Blanka a Adam ji dá 100 Kč.
[list=a]
[*]Kolik má být sázka spravedlivá pro Blanku, tedy částka, kterou má Blanka vsadit, aby její střední výhra byla 0?
[*]Blanka dostane možnost 30 krát vytáhnout a opět vrátit jednu kouli, přičemž se může podívat na barvu. Jak by mohla Blanka odhadnout, jakou má pravděpodobnost vytažení bílé koule?
[*]Jaké je rozdělení Blančiny výhry?[/list]
[b]Příklad 2. (13 bodů)[/b] V krabici se 100 výrobky je náhodný počet vadných výrobků. Víme, že tento počet má rozdělení (téměr) Poissonovo se střední hodnotou 9 a s rozptylem 9.
[list=a]
[*]S jakou pravděpodobností máme takové štěstí, že ve 100 krabicích je méně než 855 vadných výrobků?
[*]Jaká je střední hodnota a rozptyl bezvadných výrobků v krabici?
[*]Kolik krabic bychom si měli koupit, abychom s pravděpodobností alespoň 0,9 měli nejméně 8000 bezvadných výrobků?[/list]
[b]Příklad 3. (7 bodů)[/b] Krabice se čokoládou se balí automatické. Hmotnost (v kg) krabice [latex]X[/latex] se řídí normálnímu rozdělení s parametry [latex](1.06, \sigma^2)[/latex]. Víme, že [latex]\mathrm{P}(X \le 1) = 0.05[/latex]. Spočtěte procento krabic, hmotnost kterých přesahuje 970 g.
[b]Příklad 4. (7 bodů)[/b] Máme náhodný výběr z rovnoměrného na intervalu [latex](0,p)[/latex] rozdělení. Odhadněte parametr [latex]p[/latex] momentovou metodou funkcí [latex]g_k(x) = x^k[/latex] pro každé přirozené [latex]k[/latex]. Vyšetřete vlastnosti takových odhadů.
[line][/line]
Za každý příklad lze získat určený počet bodů, celkem 40.
Oddělujte, prosím, zřetelně jednotlivé otázky a jejich podotázky. Výsledky přehledně zapište. Podepiště všechny odevzdané papíry a vyznačte jejich počet.