od awk » 24. 12. 2018 10:17
Varianta B dnešní zápočtové písemky:
(Pro úspešné napsání je potřeba získat alespoň 10 bodů)
Příklad 1. (6 bodů) V ledničce máme pět syrových a dvě uvařená vajíčka. Náhodně vybereme tři vajíčka a ty dáme na 10 minut vařit (čímž se syrová vajíčka uvaří) a pak je na noc uložíme zpět do ledničky.
- Označme počet syrových vajíček v ledničce. Určete rozdělení a střední hodnotu
- Ráno vybereme z ledničky náhodně jedno vajíčko a to je uvařené. S jakou pravděpodobností zbývají v ledničce právě dvě uvařená vajíčka?
- Označme jako počet uvařených vajíček, které jsme dali vařit. Rozhodněte, zda jsou a nezávislé. Řádně zdůvodněte.
Příklad 2. (5 bodů) Pan Karel je nadšený cyklista a na kolo vyráží každý den bez ohledu na počasí. Lze předpokládat, že vzdálenosti jím ujeté v jednotlivé dny jsou navzájem nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 30 km a směrodatnou odchylkou 10 km.
- Pan Karel se vsadil s manželkou, že za měsíc (30 dní) ujede na kole více než tisíc kilometrů. S jakou pravděpodobností pan Karel tuto sázku vyhraje?
- Pomozte panu Karlovi modifikovat výše uvedenou měsíční sázku tak, aby pravděpodobnost, že sázku vyhraje manželka, byla menší než 5%.
Příklad 3. (5 bodů) Předpokládejme, že doba čekání ve frontě na poště (v hodinách) je náhodná veličina s hustotou
- Nalezněte tak, aby byla hustota.
- Na poště již aktuálně čekáte 1 hodinu a stále ještě nejste na řadě. S jakou pravděpodobností budete muset čekat ještě víc než další jednu hodinu?
- Spočtěte střední dobu čekání na poště.
Příklad 4. (4 bodů) Ze zkušenosti víme, že počet potřebných opravných termínů jednoho studenta na zkoušce z Pravděpodobnosti a statistiky je náhodná veličina s rozdělením
kde
je neznámý parametr. Předpokládejme, že počty opravných termínů jednotlivých studentů jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny
.
- Odhadněte momentovou metodou.
- Rozhodněte, zda je odhad z a. nestranný a konzistentní.
- Pro 25 studentů jsme napozorovali celkem 15 opravných termínů dohromady. Vyčíslete pro tato data odhad z a. a navrhněte odhad pravděpodobnosti, s jakou náhodně vybraný student potřebuje dva opravné termíny.
Vybrané hodnoty distribuční a kvantilové funkce normovaného normální rozdělení přiloženy.
Varianta B dnešní zápočtové písemky:
(Pro úspešné napsání je potřeba získat alespoň 10 bodů)
[b]Příklad 1. (6 bodů)[/b] V ledničce máme pět syrových a dvě uvařená vajíčka. Náhodně vybereme tři vajíčka a ty dáme na 10 minut vařit (čímž se syrová vajíčka uvaří) a pak je na noc uložíme zpět do ledničky.
[list=a]
[*]Označme [latex]X[/latex] počet syrových vajíček v ledničce. Určete rozdělení a střední hodnotu [latex]X[/latex]
[*]Ráno vybereme z ledničky náhodně jedno vajíčko a to je uvařené. S jakou pravděpodobností zbývají v ledničce právě dvě uvařená vajíčka?
[*]Označme jako [latex]Y[/latex] počet uvařených vajíček, které jsme dali vařit. Rozhodněte, zda jsou [latex]X[/latex] a [latex]Y[/latex] nezávislé. Řádně zdůvodněte.[/list]
[b]Příklad 2. (5 bodů)[/b] Pan Karel je nadšený cyklista a na kolo vyráží každý den bez ohledu na počasí. Lze předpokládat, že vzdálenosti jím ujeté v jednotlivé dny jsou navzájem nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 30 km a směrodatnou odchylkou 10 km.
[list=a]
[*]Pan Karel se vsadil s manželkou, že za měsíc (30 dní) ujede na kole více než tisíc kilometrů. S jakou pravděpodobností pan Karel tuto sázku vyhraje?
[*]Pomozte panu Karlovi modifikovat výše uvedenou měsíční sázku tak, aby pravděpodobnost, že sázku vyhraje manželka, byla menší než 5%.[/list]
[b]Příklad 3. (5 bodů)[/b] Předpokládejme, že doba čekání ve frontě na poště (v hodinách) je náhodná veličina s hustotou
[latex]f(x) = \begin{cases} b(2 - \sqrt{x}) & x \in [0,4], \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}[/latex]
[list=a]
[*]Nalezněte [latex]b > 0[/latex] tak, aby [latex]f[/latex] byla hustota.
[*]Na poště již aktuálně čekáte 1 hodinu a stále ještě nejste na řadě. S jakou pravděpodobností budete muset čekat ještě víc než další jednu hodinu?
[*]Spočtěte střední dobu čekání na poště.[/list]
[b]Příklad 4. (4 bodů)[/b] Ze zkušenosti víme, že počet potřebných opravných termínů jednoho studenta na zkoušce z Pravděpodobnosti a statistiky je náhodná veličina s rozdělením
[latex]\mathrm{P}(X = 0) = p^2, \quad \mathrm{P}(X=1) = 2p(1-p), \quad \mathrm{P}(X = 2) = \left(1 - p\right)^2[/latex]
kde [latex]p \in (0,1)[/latex] je neznámý parametr. Předpokládejme, že počty opravných termínů jednotlivých studentů jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny [latex]X_1,\ldots,X_n[/latex].
[list=a]
[*]Odhadněte [latex]p[/latex] momentovou metodou.
[*]Rozhodněte, zda je odhad z a. nestranný a konzistentní.
[*]Pro 25 studentů jsme napozorovali celkem 15 opravných termínů dohromady. Vyčíslete pro tato data odhad z a. a navrhněte odhad pravděpodobnosti, s jakou náhodně vybraný student potřebuje dva opravné termíny.[/list]
[line][/line]
Vybrané hodnoty distribuční a kvantilové funkce normovaného normální rozdělení přiloženy.