od Vilda » 14. 1. 2019 16:14
Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.
1.
a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/6*1/6 + (2/6)^2*1/6 + ... = 1/4
b) 1/6+1/3*1/6+(1/3)^2*1/6 + ... = 1/4
c) 1/6*2 + 1/3*1/6*4 + (1/3)^2*1/6*6 + ..., given 1/4 = 3
2.
a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75
3.
a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
d) TODO
4.
a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) > 15/sqrt(8000*1/4*3/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) < -15/sqrt(8000*1/4*3/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo
5.
a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci
6.
a)
P[X,Y]:
[0,1] = [1,1] = 1/4
[0,2] = [2,2] = 1/16
[1,2] = 1/8
[0,3] = [3,3] = 1/32
[1,3] = [2,3] = 4/32
b)
E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5
Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.
1.
a) Je to jako alternativní rozdělení. P[Emil vyhraje] = 1/6 + 2/6*1/6 + (2/6)^2*1/6 + ... = 1/4
b) 1/6+1/3*1/6+(1/3)^2*1/6 + ... = 1/4
c) 1/6*2 + 1/3*1/6*4 + (1/3)^2*1/6*6 + ..., given 1/4 = 3
2.
a) var X = E[(X-EX)^2] = E[X^2] - (EX)^2, střední kvadrát odchylky od očekávané hodnoty, variance proměnné
b) Snazší pro oba případy je většinou druhá forma, tedy E[X^2] pro diskrétní = \sum_{x \in \Omega} x^2 P[X=x], pro spojitou = \int_\Omega x^2 f_X(x) dx
c) E[X^2] = 1/6 * \sum_1^6 i^2 = 15, E[X] = 3.5, var X = 2.75
3.
a) P[X > 2] = 0.5, neboť nebyl kladem požadavek na kvalitu odhadu. Rozumnější je však přes charakteristickou funkci, např. P[X > 2] = 1/n * \sum \chi[X_i > 2]
b) Je nestranný, neboť E[\chi[X_i > 2]] = P[X_i > 2], konzistentní z podobného důvodu.
c) P[EX - sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha/2) \le x \le EX + sqrt(n)/\lambda * quantile(\alpha)] \rightarrow 1-\alpha, I guess
EDIT (K. B.): Je to vztah ze skript str. 24 dole, jen místo střední hodnoty (odhad F(x)) je 1-F(2).
d) TODO
4.
a) P[ |\sum X - 200| > 15] = P[ \sum X - 200 > 15] + P[ \sum X - 200 < -15] = P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) > 15/sqrt(8000*1/4*3/4)] + P[ (\sum X - 200)/sqrt(8000*1/4*3/4) < -15/sqrt(8000*1/4*3/4)] = 1- 2*P[... < 0.387298335] = 0.3493
b) Podobně, akorát kvantilová funkce místo
5.
a) P[ |X-EX| > s] \le varX/s^2, důkaz bez Markovovskou nerovnost nevím
b) var[\sum X_i] = \sum_{i\le j} cov[X_i, X_j]
c) P[ |avg X-EX| > s] \le varX/s^2
P[ |\avg X_i - EX| > s] < varX/s^2 = 1/n varX_1/s^2 = 1/n var X_1/s^2 -> 0
d) Konvergence v pravděpodobnosti a distribuci
6.
a)
P[X,Y]:
[0,1] = [1,1] = 1/4
[0,2] = [2,2] = 1/16
[1,2] = 1/8
[0,3] = [3,3] = 1/32
[1,3] = [2,3] = 4/32
b)
E[X|Y=3] = 3/4+1/4+2/4 = 1.5