Fórum studentů MFF UK

Teoreticka: Kongruence na faktorovych algebrach, 2. veta o isomorfismu
Prakticka: Dokazte, ze porovnani / (deli) tvori svaz na prirozenych cislech. Rozhodnete, zda je tento svaz modularni.

[b]Teoreticka:[/b] Modularni a distributivni svazy a jejich vlastnosti. Priklady.
- chtel definice tech svazu; vlastnost: Kazdy distributivni svaz je modularni + dukaz; Priklad svazu, ktery je modularni,ale neni distributivni(ja jsem napsal svaz o 5 vrcholech, 1 nejvetsi, 0 nejmensi, zbyle 3 vrcholy jsou zaroven atomy i koatomy). Jeste jsem napsal, ze kdyz svaz obsahuje pentagon, neni modularni. Pak po me chtel dokazat nerovnici, ktera plati v obecnem svazu(4.6).
[b]Prakticka:[/b] Zjistit vsechny atomy a koatomy svazu vsech kongruenci grupy Z[size=60]500[/size](+,-,0). (mod 500)
- Veta 4.10 a z Hasseova diagramu jsem zjistil, ze 100Z[size=60]500[/size] a 125Z[size=60]500[/size] jsou atomy, 4Z[size=60]500[/size] a 5Z[size=60]500[/size] jsou koatomy. Chtel vedet jak vypada kongruence podgrupy 4Z[size=60]500[/size] ( (a,b) je z kongruence <=> -a+b je z 4Z[size=60]500[/size] ).

teoreticka: podgrupy konecnych cyklickych grup (bylo potreba zformulovat a dokazat vetu 5.10 o tom, ze pro kazde prirozene k delici rad grupy G existuje prave jedna podgrupa grupy G radu k).

V tomhle jsem se dost zamotal, ac je to vlastne uplne jednoduche :), zvlast, kdyz to stacilo ukazat na Zn a vyuzit jejiho izomorfismu (coz jsem si na zacatku netroufnul, a on povidal, ze klidne muzu, no, ani pak jsem to nedodelal).

prakticka: jsou okruhy Z(+,*,-,0,1), R(+,*,-,0,1), C(+,*,-,0,1) izomorfni?

Stacilo rict, ze Z nemuze byt izomorfni s nicim (ruzny pocet prvku), nechat si vyvratit tezi, ze card(R)<card(C), a dospet k tomu, ze jelikoz f(1)=1, tak f(-1)=-1, a protoze g:=f_na_minus_prvni, g(i^2)=g(i)g(i)=g(-1)=-1, ale zaroven g(i)=x \in R, ale zadne realne x umocnene na druhou nam neda -1.

Nakonec za dva, coz me vice nez potesilo.

T: Eulerova fce, vypocet
P: S[sub]3[/sub] izomorfni Z[sub]2[/sub]xZ[sub]3[/sub] (ne)

[b]teoreticka: [/b] popiste vztah kongruenci a normalnych podgrup (veta + dokaz)
[b]prakticka[/b]: popiste [u]vsetky[/u] [u]maximalne[/u] idealy okruhu celych cisel Z(+, ., -, 0, 1)