Fórum studentů MFF UK

Čas: 90 minút
Zúčastnení: 5 (známky: 1,1,2,3,4)

Prvých 10 úloh po 1 bode:
1. Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet.
2. Popište pomocí podgrup všechny ekvivalence slučitelé s grupovou operací.
3. Tvořé všechny funkce [latex]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] se skládaním grupu? Stručně zdůvodněte.
4. Rozhodněte, zda tvoří množina {1,3} podgrupu grupy [latex]\mathbb{Z}^*_{10}(\cdot)[/latex]? Stručně zdůvodněte.
5. Nechť [latex]k\in{1,...,n}[/latex]. Za jakých podmínek [latex]<k> = \mathbb{Z}_n[/latex]? Kolik podgrup řádu k má grupa [latex]\mathbb{Z}_n[/latex]?
6. Existuje mezi každou dvojicí algeber stejného typu nějaký homomorfizmus? Stručně zdůvodněte.
7. Uveďte příklady aspoň dvou kongruencí na desetiprvkové algebře.
8. Rozhodněte, zda jsou izomorfní algebry [latex]\mathbb{Q}(\cdot,+,1)[/latex] a [latex]\mathbb{Z}(\cdot,+,1)[/latex]. Stručně zdůvodněte.
9. Charakterizujte ideály oboru polynomů bad tělesem.
10. Definujte svaz a úplný svaz pomocí relace uspořádaní.

Ďalšie 4 úlohy po 2 bodoch:
11. Spočtete [latex]13^{-1}[/latex] v monoidu [latex]\mathbb{Z}_{19}(\cdot)[/latex].
12. Nakreslete svaz kongruencí na algebře [latex]\mathbb{Z}_{19}(+,0,1)[/latex].
13. Kolik podgrup řádu 4,5,6 a 7 má grupa [latex]\mathbb{Z}_{1200}(+)[/latex]. Odůvodněte.
14. Existuje nekomutatívni 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.

Dve úlohy po 7 bodov:
15. Dokažte, že je průnik dvou kongruencí na algebře opět kongruence. Ověřte, že sjednocení kongruencí nemusí býť kongruence.
16. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu a 1. větu o izomorfismu pro grupy.

Na trojku 18 bodov.
Veľmi príjemná skúška, veľmi pomôže mať preriešené úlohy vopred :), viď iný topic.