od Martin » 10. 2. 2006 16:03
K tomu důkazu toho 3.3: Nebudu tady dělat všechny podrobnosti, ale postup by možná šel lépe vysvětlit takto:
Nejprve se dokáže, že kdykoli A je z d(F) (tj. z toho nejmenšího Dynkinova systému obsahujícího F), tak to F_A je dynkinův systém. Dokázat to je snadné - pouhé ověření definice.
Nyní zvolíš libovolné A z F a vzhledem k uzavřenosti F na konečné průniky (a tomu, že F je pochopitelně podmnožinou d(F)) snadno ukážeš, že F_A obsahuje F. Tedy už víš, že pro každé A z F je pravda, že F_A obsahuje F. Taky víš, že F_A je dynkinův systém, takže vlastně víš, že pro každé A z F platí, že F_A obsahuje d(F).
Teďka zvolíš libovolné B z d(F). Protože pro každé A z F platí, že B je prvkem F_A (podle předchozího kroku totiž víme, že d(F) je podmnožinou F_A), je tedy podle definice F_A pravda, že A průnik B je prvekm d(F) pro každé A z F. Tedy podle definice F_B je pravda, že F_B obsahuje každou z množin A z F. Nyní tedy již víme, že dokonce i pro libovolnou množinu B z d(F) (a nikoli pouze z F) platí, že F_B obsahuje d(F) (opět vzhledem k faktu, že F_B je dynkinův systém obsahující F).
Když se nyní podíváš na výsledek, který jsme obdrželi, a zvolíš libovolné dvě množiny A, B z d(F), zjistíš, že A je prvekm F_B (nebo symetricky B je prvkem F_A). To ale podle definice F_B znamená, že A průnik B je prvkem d(F). Dokázali jsme tedy, že dynkinův systém generovaný systémem množin uzavřeným na konečné průniky nemá jinou možnost, než být rovněž uzavřený na průniky.
Protože máme uzavřenost d(F) na průniky, můžeme snadno použít trik zdisjunktnění (nebo nějak tak) a ukázat, že d(F) je sigma-algebra - to už je snadné. Protože však každá sigma-algebra je i dynkinův systém a d(F) i sigma(F) jsou minimální, je d(F) = sigma (F).
Promiň, ale dělat důkaz 3.4 se mi tady nechce, ale řekl bych, že to není tak složité, stačí si to pořádně rozmyslet.
K tomu důkazu toho 3.3: Nebudu tady dělat všechny podrobnosti, ale postup by možná šel lépe vysvětlit takto:
Nejprve se dokáže, že kdykoli A je z d(F) (tj. z toho nejmenšího Dynkinova systému obsahujícího F), tak to F_A je dynkinův systém. Dokázat to je snadné - pouhé ověření definice.
Nyní zvolíš libovolné A z F a vzhledem k uzavřenosti F na konečné průniky (a tomu, že F je pochopitelně podmnožinou d(F)) snadno ukážeš, že F_A obsahuje F. Tedy už víš, že pro každé A z F je pravda, že F_A obsahuje F. Taky víš, že F_A je dynkinův systém, takže vlastně víš, že pro každé A z F platí, že F_A obsahuje d(F).
Teďka zvolíš libovolné B z d(F). Protože pro každé A z F platí, že B je prvkem F_A (podle předchozího kroku totiž víme, že d(F) je podmnožinou F_A), je tedy podle definice F_A pravda, že A průnik B je prvekm d(F) pro každé A z F. Tedy podle definice F_B je pravda, že F_B obsahuje každou z množin A z F. Nyní tedy již víme, že dokonce i pro libovolnou množinu B z d(F) (a nikoli pouze z F) platí, že F_B obsahuje d(F) (opět vzhledem k faktu, že F_B je dynkinův systém obsahující F).
Když se nyní podíváš na výsledek, který jsme obdrželi, a zvolíš libovolné dvě množiny A, B z d(F), zjistíš, že A je prvekm F_B (nebo symetricky B je prvkem F_A). To ale podle definice F_B znamená, že A průnik B je prvkem d(F). Dokázali jsme tedy, že dynkinův systém generovaný systémem množin uzavřeným na konečné průniky nemá jinou možnost, než být rovněž uzavřený na průniky.
Protože máme uzavřenost d(F) na průniky, můžeme snadno použít trik zdisjunktnění (nebo nějak tak) a ukázat, že d(F) je sigma-algebra - to už je snadné. Protože však každá sigma-algebra je i dynkinův systém a d(F) i sigma(F) jsou minimální, je d(F) = sigma (F).
Promiň, ale dělat důkaz 3.4 se mi tady nechce, ale řekl bych, že to není tak složité, stačí si to pořádně rozmyslet.