od Zkouška 07.06.13 » 7. 6. 2013 16:56
1) Nechť
a
 = \int _0 ^\infty \frac{\mathrm{arctg}(a^2 x) - \mathrm{arctg}(b^2 x)}{x} \mathrm{d}x)
Vyšetřete konvergenci
)
v závislosti na
a
a vypočítejte
.
2) Rozviňte integrál
}{x^3+1})
v číselnou řadu.
3) Vypočítejte Lebesgueovu míru množiny
![M = \lbrace [x,y,z] \in \mathbb{R}^3: \, x^2 +y^2 \leq 2z , \, z-4 \leq \sqrt{x^2+y^2} \rbrace](http://latex.codecogs.com/gif.latex?M = \lbrace [x,y,z] \in \mathbb{R}^3: \, x^2 +y^2 \leq 2z , \, z-4 \leq \sqrt{x^2+y^2} \rbrace)
.
1) Nechť [latex]$a, b \in \mathbb{R}$[/latex] a
[latex]I(a,b) = \int _0 ^\infty \frac{\mathrm{arctg}(a^2 x) - \mathrm{arctg}(b^2 x)}{x} \mathrm{d}x[/latex]
Vyšetřete konvergenci [latex]I(a,b)[/latex] v závislosti na [latex]a[/latex] a [latex]b[/latex] a vypočítejte[latex]I(a,b)[/latex].
2) Rozviňte integrál
[latex]\int _0 ^1 \frac{\log({x^{\frac{1}{3}}})}{x^3+1}[/latex]
v číselnou řadu.
3) Vypočítejte Lebesgueovu míru množiny
[latex]M = \lbrace [x,y,z] \in \mathbb{R}^3: \, x^2 +y^2 \leq 2z , \, z-4 \leq \sqrt{x^2+y^2} \rbrace[/latex].