Fórum studentů MFF UK

Dakujem velmi pekne za odpoved!

Pravděpodobnost, že hráč A vyhraje v k-tém kole, je
P(X[sub]a[/sub]=k)=(1/6)*((5/6)*(2/3))[sup]k-1[/sup]
protože musí hodit číslo 1, a předtím k-1 krát ani jeden z nich nevyhraje.

Vyjde to myslím 3/8 (sečte se to jako nekonečná geometrická řada), pravděpodobnost vítězství B je pak 5/8.

Pravděpodobnost, že A hodí právě k-krát, je
P(Y[sub]a[/sub]=k)=(1/6 + (5/6)*(1/3))*((5/6)*(2/3))[sup]k-1[/sup]
a sečte se řada pro výpočet střední hodnoty, tedy nekonečná řada k*P(Y[sub]a[/sub]=k). Výsledek tohohle si ale už nepamatuju.

U toho třetího příkladu určitě vyjde nestranný, v konzistenci jsem měl chybu, ale řekl bych, že taky.

Ahoj! Mohli by ste mi niekto, prosim, poradit ako na ten prvy priklad??? Ak niekto viete vysledky, mohli by ste ich sem pls dat?
A este k tomu tretiemu prikladu: naozaj to vyslo, ze je to nestranny a konzistentny odhad???

[b]Příklady:[/b]
1) [6 bodů]
Hráči A a B střídavě házejí kostkou (začíná hráč A). Hra končí, jestliže
a) hráči A padne 1 (vyhraje hráč A)
b) hráči B padne 2 nebo 3 (vyhraje hráč B).
Spočítejte pravděpodobnost, že vyhraje hráč A, resp. B. Spočítejte střední hodnotu počtu bodů hráče A a hráče B.

2) [4 body]
Na server má přístup 10 uživatelů. Z dřívějších zkušeností víme, že uživatel má na serveru průměrně mí=120 MB dat, směrodatná odchylka množství dat je sgm=40 MB. Jak velký diskový prostor potřebujeme, aby s pravděpodobností 99% nedošlo k jeho zaplnění? (Užijte CLV)

3) [6 bodů]
Nechť náh. vel. X_1,...,X_n jsou stejně rozdělené nezávislé se střední hodnotou mí a nenulovým konečným rozptylem sgm[sup]2[/sup]. Dokažte, že náhodná veličina T[sub]n[/sub]=(1/(2*(n-1)))*Sum(i=2,n,(X[sub]i[/sub]-X[sub]i-1[/sub])[sup]2[/sup]) je nestranným a konzistentním odhadem sgm[sup]2[/sup].

4) [4 body]
Máme podezření, že nás v hospodě okrádají. Proto koupíme 8 piv a změříme jejich objem v litrech. Tato data mají průměr 0,485 a rozptyl 0,000167. Prokazují naše data, že hostinský je nepoctivý? Zformulujte hypotézu a alternativu, doplňte předpoklady a testuje na hladině 0,05.

[b]Teorie:[/b]
1) Borelova a Cantelliho věty. Zformulujte tvrzení a dokažte.
2) Definice náhodného vektoru, definice a vlastnosti příslušné distribuční funkce, definice a vlastnosti varianční matice.
3) Zformulujte CLV. Odvoďte její důsledek pro binomické rozdělení. Jaké je limitní rozdělení binomického rozdělení s parametry n a p[sub]n[/sub] takové, že np[sub]n[/sub]->lambda pro n->inf. Odpovědi zdůvodněte.
4) Zformulujte model regresní přímky, odvoďte odhady parametrů B[sub]1[/sub], B[sub]2[/sub] metodou nejmenších čtverců. Ukažte nestrannost a spočtěte rozptyl odhadu parametru B[sub]2[/sub].

[b]Pár postřehů:[/b]
1) Základ jsou příklady, myslím, že je potřeba mít aspoň 10 bodů a to aspoň 5 z prvních dvou příkladů a 5 z druhých dvou.
2) Nezapomínejte uvádět správné předpoklady, jsou na to poměrně hákliví :)
3) Na příklady je 90 minut, na teorii 70 minut, mezitím asi 10 minut pauza.
4) Skončili jsme kolem 11. hodiny a ústní začínala ve 13:00. Celou dobu se hromadně čekalo na chodbě a Hušková si postupně zvala malé (1-3 lidi) skupinky lidí k sobě. Pak se k ní připojil ještě Hlubinka. Ústní část probíhala tak, že vám ukázali příklady a mezitím si četli teorii, když se jim něco nezdálo, tak se na to zeptali a většinou vám to dali dodělat na papír. Nebylo to nijak extrémně obtížné, šlo jen o doplnění věcí z písemky, takže pokud víte, že něco v teorii nemáte, naučte se to než jdete na ústní. Ústní u každého trvala 15-45 minut, poslední člověk šel po třetí hodině. Celkem nás bylo 12.