od Martin » 25. 3. 2006 16:44
No teda teď zrovna nemám čas to dělat nějak podrobně. Ale řešení se dělá nějak takhle:
1) Musíš do toho vztahu dosadit vektory kanonické báze R3. Co ti z toho vypadne jsou nějaké vektory v R4. Obraz je jejich lineárním obalem. Ještě by se hodilo z nich vybrat bázi toho obalu, což už je trivka.
Dále - jádro jsou právě ty vektory, které ten homo. zobrazí na nulový vektor. No tak si prostě napíšeš matici toho homomorfismu a podíváš se na řešení příslušné homogenní soustavy rovnic.
Jo a ještě že je to homomorfismus v tomhle případě poznáš tak, že je to lineární zobrazení, to znamená, že parciální derivace každé složky podle libovolné proměnné je konstanta. V podstatě jde jen o to, že se ti tam nikde nesmí vyskytovat něco jako x1*x2, nebo třeba Sin(x1). Kdybys to zderivoval, třeba podle x1, tak ti v té složce zůstane x2, což není konstanta.
2) Je to stejné, akorát nemáš k dispozici ten luxus v podobě možnosti dosadit si vektory kanonické báze a získat tak matici vzhledem ke kanonickým bázím. Zde si akorát nesmíš poplést, co máš vlastně zadáno.
Z toho zadání, které jsi napsal není těžké sestavit následující matici:
2 0 1
3 1 4
Težší už je uvědomit si, k čemu je tahle matice dobrá. Když ji zprava vynásobíš nějkým vektorem z R3, dostaneš nějakou lineární kombinaci těch obrazů vektorů (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1). Tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru V z R3 vzhledem k této bázi v R3 (dovolil jsem si bez výpočtu předpokládat, že je to báze), tak pokud je zleva přenásobíš tou maticí, dostaneš obraz f(V) toho vektoru ale již vzhledem k bázi kanonické v R2! Je to snadné, stačí si to jenom pořádně rozmyslet. Pokud chceš tedy dostat matici f vzhledem ke kanonickým bázím, musíš tu matici ještě zprava přenásobit maticí, která nějakému vektoru v R3 přiřadí jeho souřadnice vzhledem k té bázi (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1).
Když se nyní podíváš, co se stane, když maticí A=
1 1 -1
2 1 3
0 1 -1
zleva vynásobíš nějaký vektor v R3, zjistíš, že pouze dostaneš nějakou lineární kombinaci těch bázových vektorů - tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru vzhledem k této bázi a vynásobíš-li je zleva tou maticí A, dostaneš souřadnice toho vektoru ke kanonické bázi. To není to, co jsi chtěl, ty naopak potřebuješ znát souřadnice vzhledem k této bázi nějakého vektoru zadaného ke kanonické. Takže tu matici 3*3 musíš nejdřív invertovat - dostaneš nějakou matici A^(-1). To můžeš udělat, protože vektory báze jsou LNZ, takže A je regulární.
Matice f vzhledem ke kanonickým bázím je potom ta první matice, kterou jsem napsal zprava přenásobená tou A^(-1).
Zbytek je stejný jako v minulém příkladě. Podle mě nemá smysl se učit nějakou kuchařku, protože tu velice rychle zase zapomeneš. Lepší je si neustále uvědomovat, co vlastně děláš, když ten a ten vektor násobíš tou a tou maticí.
No teda teď zrovna nemám čas to dělat nějak podrobně. Ale řešení se dělá nějak takhle:
1) Musíš do toho vztahu dosadit vektory kanonické báze R3. Co ti z toho vypadne jsou nějaké vektory v R4. Obraz je jejich lineárním obalem. Ještě by se hodilo z nich vybrat bázi toho obalu, což už je trivka.
Dále - jádro jsou právě ty vektory, které ten homo. zobrazí na nulový vektor. No tak si prostě napíšeš matici toho homomorfismu a podíváš se na řešení příslušné homogenní soustavy rovnic.
Jo a ještě že je to homomorfismus v tomhle případě poznáš tak, že je to lineární zobrazení, to znamená, že parciální derivace každé složky podle libovolné proměnné je konstanta. V podstatě jde jen o to, že se ti tam nikde nesmí vyskytovat něco jako x1*x2, nebo třeba Sin(x1). Kdybys to zderivoval, třeba podle x1, tak ti v té složce zůstane x2, což není konstanta.
2) Je to stejné, akorát nemáš k dispozici ten luxus v podobě možnosti dosadit si vektory kanonické báze a získat tak matici vzhledem ke kanonickým bázím. Zde si akorát nesmíš poplést, co máš vlastně zadáno.
Z toho zadání, které jsi napsal není těžké sestavit následující matici:
2 0 1
3 1 4
Težší už je uvědomit si, k čemu je tahle matice dobrá. Když ji zprava vynásobíš nějkým vektorem z R3, dostaneš nějakou lineární kombinaci těch obrazů vektorů (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1). Tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru V z R3 vzhledem k této bázi v R3 (dovolil jsem si bez výpočtu předpokládat, že je to báze), tak pokud je zleva přenásobíš tou maticí, dostaneš obraz f(V) toho vektoru ale již vzhledem k bázi kanonické v R2! Je to snadné, stačí si to jenom pořádně rozmyslet. Pokud chceš tedy dostat matici f vzhledem ke kanonickým bázím, musíš tu matici ještě zprava přenásobit maticí, která nějakému vektoru v R3 přiřadí jeho souřadnice vzhledem k té bázi (1,2,0), (1,1,1), (-1,3,-1).
Když se nyní podíváš, co se stane, když maticí A=
1 1 -1
2 1 3
0 1 -1
zleva vynásobíš nějaký vektor v R3, zjistíš, že pouze dostaneš nějakou lineární kombinaci těch bázových vektorů - tedy máš-li souřadnice nějakého vektoru vzhledem k této bázi a vynásobíš-li je zleva tou maticí A, dostaneš souřadnice toho vektoru ke kanonické bázi. To není to, co jsi chtěl, ty naopak potřebuješ znát souřadnice vzhledem k této bázi nějakého vektoru zadaného ke kanonické. Takže tu matici 3*3 musíš nejdřív invertovat - dostaneš nějakou matici A^(-1). To můžeš udělat, protože vektory báze jsou LNZ, takže A je regulární.
Matice f vzhledem ke kanonickým bázím je potom ta první matice, kterou jsem napsal zprava přenásobená tou A^(-1).
Zbytek je stejný jako v minulém příkladě. Podle mě nemá smysl se učit nějakou kuchařku, protože tu velice rychle zase zapomeneš. Lepší je si neustále uvědomovat, co vlastně děláš, když ten a ten vektor násobíš tou a tou maticí.