od Martin » 8. 3. 2006 22:24
No to počítání toho průniku jader skutečně není nic jiného, než najít systém řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (a ten je pak průnikem jader - jsou to totiž právě ty vektory, které každá z těch forem zobrazí na nulu - tj. řešíš soustavu rovnic).
K té druhé části bych řekl tolik: Stačí si vzít některý (pozor, to slovo "některý" není úplně přesně - viz dále) vektor z toho průniku jader a podívat se, jestli ho ta forma fi4 zobrazí na nulu. V tomto případě tomu tak není (proto stačí "některý" vektor). No a protože každá lineární kombinace těch forem fi1, fi2 a fi3 zobrazuje ten vektor na nulu (vcelku pochopitelně), tak je jasný, že ta forma fi4 není lineární kombinací těch tří.
Jinak jak tak o tom přemýšlím, tak bych řekl, že platí obecně: Je-li {v1,v2,...,vk} množina generátorů průniku všech Ker(fi_i), tak potom je ta uvažovaná forma (označme ji třeba psi) lineární kombinací fi_j právě tehdy, když pro každý vektor v_i (z té množiny generátorů průniku jader) platí psi(v_i)=0.
Důkaz: Implikace zleva doprava je jasná (sporem). Zprava doleva: Nechť psi není lineární kombinací těch ostatních. Tak potom když si uděláš matici, kde v řádcích jsou koeficienty těch prvních norem a přidáš k ní ještě řádek z koef. psi, tak se zvětší hodnost tý matice, takže se zmenší dimenze toho průniku jader. Takže určitě najdeš nějaký vektor v_i, že psi(v_i) je různé od nuly.
Jak se to použije v tom příkladu: Kdyby ti vyšlo, že ten průnik jader fi1, fi2, fi3 má třeba dimenzi dva, tj. budeš mít dvouprvkovou bázi {v1,v2} toho průniku, tak se prostě podíváš na hodnoty fi4(v1) a fi4(v2). Pokud jsou obě nulové, tak dostáváš, že fi4 je lineární kombinací těch ostatních. Pokud alespoň jedna z těch hodnot je nenulová, tak fi4 není lineární kombinací těch ostatních.
Snadné jako facka, ne?
No to počítání toho průniku jader skutečně není nic jiného, než najít systém řešení homogenní soustavy lineárních rovnic (a ten je pak průnikem jader - jsou to totiž právě ty vektory, které každá z těch forem zobrazí na nulu - tj. řešíš soustavu rovnic).
K té druhé části bych řekl tolik: Stačí si vzít některý (pozor, to slovo "některý" není úplně přesně - viz dále) vektor z toho průniku jader a podívat se, jestli ho ta forma fi4 zobrazí na nulu. V tomto případě tomu tak není (proto stačí "některý" vektor). No a protože každá lineární kombinace těch forem fi1, fi2 a fi3 zobrazuje ten vektor na nulu (vcelku pochopitelně), tak je jasný, že ta forma fi4 není lineární kombinací těch tří.
Jinak jak tak o tom přemýšlím, tak bych řekl, že platí obecně: Je-li {v1,v2,...,vk} množina generátorů průniku všech Ker(fi_i), tak potom je ta uvažovaná forma (označme ji třeba psi) lineární kombinací fi_j právě tehdy, když pro každý vektor v_i (z té množiny generátorů průniku jader) platí psi(v_i)=0.
Důkaz: Implikace zleva doprava je jasná (sporem). Zprava doleva: Nechť psi není lineární kombinací těch ostatních. Tak potom když si uděláš matici, kde v řádcích jsou koeficienty těch prvních norem a přidáš k ní ještě řádek z koef. psi, tak se zvětší hodnost tý matice, takže se zmenší dimenze toho průniku jader. Takže určitě najdeš nějaký vektor v_i, že psi(v_i) je různé od nuly.
Jak se to použije v tom příkladu: Kdyby ti vyšlo, že ten průnik jader fi1, fi2, fi3 má třeba dimenzi dva, tj. budeš mít dvouprvkovou bázi {v1,v2} toho průniku, tak se prostě podíváš na hodnoty fi4(v1) a fi4(v2). Pokud jsou obě nulové, tak dostáváš, že fi4 je lineární kombinací těch ostatních. Pokud alespoň jedna z těch hodnot je nenulová, tak fi4 není lineární kombinací těch ostatních.
Snadné jako facka, ne?