od Návštěvník » 23. 1. 2007 19:26
Teoreticka cast 6 otazok po 4 bodoch, potrebne minimum 12 bodov
1
Definujte pojem dimenze.
2
Formulujte vetu vyjadrujici tzv. Cramerovo pravidlo.
3
Necht A,B jsou dve matice takove, ze AB je definovano. Necht Im A pro matici A patri T^mn je definovano jako vsechny y patri T^m, pro nez existuje x patri T^n takove, ze y=Ax a Ker A= {x patri T^n | Ax=0}. Rozhodnete, ktere z nasledujicich vyroku plati a odpoved zduvodnete:
(a) Ker AB = Ker A
(b) Ker AB podmnozina (bez rovnosti) Ker A
(c) Ker B podmnozina (bez rovnosti) Ker AB
(d) Ker AB = Im A^T
(e) Ker AB = Ker B
4
Necht (R horni index +)^n je vektorovy prostor nad R, na kterem je definovano scitani a nasobeni pomoci vztahu
(a1,...,an) + v kruzku (b1,...,bn) = (a1b1,...,anbn)
r(a1,...,an)=(a1^r,...,an^r)
Definujte na tomto prostoru nejakou netrivialni linearni formu.
(tu si treba uvedomit, ze linearni forma je vlastne homomorfizmus, takze pre lin. formu musia platit tie dve podmienky f(a+b)=f(a)+f(b) a f(sa)=sf(a), kde s je prvek z telesa. priklad takejto formy je logaritmus.)
5
Necht W1,W2,W3 jsou tri vektorove podprostory prostoru V. Plati <(W1 U W2) prunik W3> = <(W1 U W2)> prunik W3, kde U znaci sjednoceni?
(vysledok je, ze neplati)
6
Necht T je konecne teleso na r nenulovy prvek v nem. Dokazte, ze zozbrazeni T->T definovane nasobenim x->rx je permutace mnoziny T.
(bolo treba dokazat, ze kedze T je konecne teleso, tak toto zobrazenie je proste. dokaz sporom. z toho vyplyva, ze je na, takze je to vlastne automorfizmus a potom je to uz jasne.)
[i][b]Teoreticka cast 6 otazok po 4 bodoch, potrebne minimum 12 bodov[/b][/i]
[b]1[/b]
Definujte pojem dimenze.
[b]2[/b]
Formulujte vetu vyjadrujici tzv. Cramerovo pravidlo.
[b]3[/b]
Necht A,B jsou dve matice takove, ze AB je definovano. Necht Im A pro matici A patri T^mn je definovano jako vsechny y patri T^m, pro nez existuje x patri T^n takove, ze y=Ax a Ker A= {x patri T^n | Ax=0}. Rozhodnete, ktere z nasledujicich vyroku plati a odpoved zduvodnete:
(a) Ker AB = Ker A
(b) Ker AB podmnozina (bez rovnosti) Ker A
(c) Ker B podmnozina (bez rovnosti) Ker AB
(d) Ker AB = Im A^T
(e) Ker AB = Ker B
[b]4[/b]
Necht (R horni index +)^n je vektorovy prostor nad R, na kterem je definovano scitani a nasobeni pomoci vztahu
(a1,...,an) + v kruzku (b1,...,bn) = (a1b1,...,anbn)
r(a1,...,an)=(a1^r,...,an^r)
Definujte na tomto prostoru nejakou netrivialni linearni formu.
(tu si treba uvedomit, ze linearni forma je vlastne homomorfizmus, takze pre lin. formu musia platit tie dve podmienky f(a+b)=f(a)+f(b) a f(sa)=sf(a), kde s je prvek z telesa. priklad takejto formy je logaritmus.)
[b]5[/b]
Necht W1,W2,W3 jsou tri vektorove podprostory prostoru V. Plati <(W1 U W2) prunik W3> = <(W1 U W2)> prunik W3, kde U znaci sjednoceni?
(vysledok je, ze neplati)
[b]6[/b]
Necht T je konecne teleso na r nenulovy prvek v nem. Dokazte, ze zozbrazeni T->T definovane nasobenim x->rx je permutace mnoziny T.
(bolo treba dokazat, ze kedze T je konecne teleso, tak toto zobrazenie je proste. dokaz sporom. z toho vyplyva, ze je na, takze je to vlastne automorfizmus a potom je to uz jasne.)