Fórum studentů MFF UK

Hele v kolik je ta ustni ?

Mas pravdu, saddo, to jsem si neuvedomil...
Tak to vidite...

sorry, ta monotonnost sa tam overovat naozaj musi...som si trosku poplietol kriteria

Myslim se, ze nemuzes, protoze funkce musi byt neklesajici (derivace je rovna odmocnine a tedy nezaporna) a sin(x+pi) je ti v nule klesajici...

Jenom k tomu dosazeni - vyjde ti tam cos(x+c)= abs(cos(x+c)) a cos(x+pi) je v nule zaporny, takze to zas nesplnuje...

to ivo_svk: Monotonie u Leibnize rozhodne v predpokladu je a je potreba ji opravdu overit, bez toho to obecne neplati.

to sadda: Tou podminkou u 3 jsi me docela zaskocil. Nejsem si tim ted uplne jist, ale kdyz se na ni vykasles a vezmes napr. fci y=sin(x+pi) a dosadis ji do puvodni diferencialni rovnice, tak Ti vyjde goniometricka jednicka pro libovolne x+pi a to omezeni dane vypoctem se Ti neprojevi a Ty tak ziskas maximalni reseni, neni to tak?

u Leibniza nieje monotonia v predpokladoch staci dokazat ze postupnost bez toho (-1)^k je nezaporna (to je vidiet) a jej limita je nula pre alfa vacsie nanajvys rovne -1...

Par poznamek k reseni:

1) Jaks to srovnaval s 1/(k^(1+alfa)*logk), to bych udelal uz na zacatku, bude se ti to pak lip derivovat...

3) Tady ti vyjde podminka -pi/2<=x+c<=pi/2, teda -pi/2-c<=x<=pi/2-c. Protoze sin(0+c)=0 a x musi nalezet do toho intervalu, vyjde ti c jenom nula. Maximalni reseni bude jenom jedno (maximalni reseni je na intervalu, kterej uz nemuzes natahnout) a to -1 na (-inf, -pi/2), sinx na (-pi/2, pi/2) a 1 na (pi/2, inf). Teda doufam...

Jinak 2) a 4) by melo bejt dobre...

V prikladu 2 je a,b prvkem [0,+nekonecno), ne celeho R.

Dale prikladam maly navod, ja se to (mozna-neco-snad) dalo resit, kdyby si s tim nekdo nevedel rady...

1) Pro alfa>=-1 jsem se to snazil uhrat na Leibnize s tim, ze monotonii bych dokazoval pres derivaci prolozene fce (snad by mohla byt zaporna). Jinak neni splnena nutna podnimka konvergence. Absolutni konvergence by mohla jit srovnanim s g(k)=1/(k^(1+alfa)*logk) potom pro alfa>0.

2) Napriklad substituci za bx (b<>0) potom dvakrat per-partes, z toho vyleze ten samej integral, kterej se vyjadri z rovnice. Pro b=0 cosinus zmizi a je to substituce za ax (a<>0) a je to. A pro a=b=0 ponechame ctenari jako snadne cviceni...

3) Vydelime pravou stranou (pseudoreseni: 1 a -1 - nevyhovuji podmince) a integrujeme. Stastlivci si vsimnou, ze je to vzorec pro derivaci arcsin a mame reseni sin(x+c). S pocatecni podminkou to da sin(x) a sin(x+pi). To jsou maximalni reseni. Maximalnich reseni je nekonecne mnoho, protoze muzeme lepit funkcemi y=1 a y=-1.

4) Substituujeme za odmocninu a je z toho arctg, to toho se dosadi a vyleze pi. Ten docela sel.

Tot ma troska do mlyna, za postupy absolutne nerucim, ale snad to i tak nekomu pomuze, jako mne pomohlo reseni prvni pisemky (diky saddo). Hodne stesti.

takze dnes bola dalsia skuska z analyzy...

priklad 1: suma(2 az nekonecno) ((-1)^(k)*sin(1/k)*arctg(k))/(k^(alfa)*log(k))
pre alfa realne

priklad 2: urcit aspon jednu primitivnu fce k h(x) pre vsetky hodnoty parametrou a,b z [0,nekonecno)
h(x)=exp(ax)*cos(bx)

priklad 3: riesit dif. rovnicu, najst aspon jedno max. riesenie vyhovujuce y(0)=0 a zistit kolko takych rieseni je
y'=sqrt(1-y^2)

priklad 4: urcity integral od -1 do nekonecna dx/(sqrt(x+1)+sqrt((x+1)^3))