Fórum studentů MFF UK

Ten posledni priklad:
Necht f: R^2 -> R ma obe parcialni derivace na R^2, pricemz parcialni derivace f podle prvni promenne je omezena na R^2. Musi byt f spojita na R^2? Dokazte, nebo najdete protipriklad.

(Ano, opravdu to plati.)
Hint: ja jsem na to sel sporem. Vzal jsem posloupnost x_n, ze x_n jde k nejakemu tomu bodu nespojitosti x a f(x_n) nejde k f(x). Pak se podobne jako v retizkovem pravidlu da pouzit dvakrat Lagrageova veta o stredni hodnote a casem vyjde spor, protoze kdyz n je dost velke a tedy jsme hodne blizko bodu x, tak f(x) a f(x_n) se lisi o hodne, ale pritom v jednom smeru se muzeme pohybovat pomalu (omezena derivace) a v druhem to take tak rychle nejde, protoze z existence te parcialni derivace plyne alespon spojitost prislusne parcialni fce.

Poznamka: tento hint v pisemce nebyl.

Ještě body:

Početní: 1 a 2 za sedm, 3 a a 3 b za tři.
Teoretická: 1 a a 1 b za dva. 2 a 3 za čtyři. 4 za osm. 5 za pět.

Početní část:

1) integral (1 + Cos[x] - Sin[x])/(2 + Cos[x] + Sin[x])

2) f(u, v) = (v u^3 + v u^2 + v^3)/(2 u^2 + v^2), f(0 ,0) = 0

a) Je f spojitá v (0, 0)?
b) Má f totální diferenciálv v (0, 0)?

3) a) konvergence řady ArcTan[1/n] ArcTan[n]
b) Taylorův rozvoj se středen 0 funkce Sin[x]^2

Teoretická část:

1) a) Jak se definuje číslo e^z pro komplexní z? Jak lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí reálné proměnné?
b) Formulace Raabeho kritéria.

2) Existuje na okolí bodu (2, 1) funkce h(x, y)? Má totální diferenciál v (2, 1)? h(2, 1) = 3. Splňující rovnici h^3 - 3 x y h = 9. Zformulujte věty a tvrzení, které používáte.

3) Dokažte, že pokud je funkce stejnoměrně spojitá na (a, b), lze spojitě rozšířit na [a, b].

4) Zformulujte a dokažte L'Hospitalovo pravidlo pro inf/inf. Stačí pro vlastní limitu.

5) Ani jsem to nečet.