od NeverNotBluu » 22. 6. 2018 16:24
Délka zkoušky: 3h, Maximální počet bodů: 70
1)
a) (3b) Definujte vícerozměrný Riemannův integrál a horní a dolní Riemannovu sumu.
b) (5b) Pro které funkce platí s(f,P1) = S(f,P2) pro libovolná dělení P1 a P2 intervalu [a,b]? Pokud existují dělení P1 a P2 intervalu [a,b] splňující s(f,P1) = S(f, P2), co můžeme říct o integrovatelnosti funce? Zdůvodněte.
c) (5b) Definujte množinu míry nula na R. Uveďte příklad nekonečné podmnožiny reálných čísel s mírou nula a dokažte to o ní.
d) (4b) Platí, že sjednocení libovolně mnoha množin míry nula je množina míry nula? (Dokažte, nebo uveďte protipříklad)
e) (2b) Formulujte Lebesgueovo kritérium integrovatelnosti.
f) (4b) Spočtěte primitivní funkci k |x^2 - 6x + 8| + |x-2| na největších možných intervalech.
2)
a) (5b) Definujte totální diferenciál. Pro f(x,y) = xy spočtěte Df(x,y)(h1,h2) obvyklou metodou a výsledek poté ověřte podle definice.
b) (3b) Formulujte větu o implicitní funkci.
c) (4b) Nechť f:R2 -> R2 je funkce dvou proměnných diferencovatelná v bodě (0,0) a jsou zadány její směrové derivace v bodě (0,0) ve směrech u = (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) a v = (1/2, sqrt(3)/2): du(0,0) = 1/sqrt(2) a dv(0,0) = (2-sqrt(3))/2. Určete totální diferenciál Df(0,0).
d) (4b) Jsou dány funkce f(u,v) = (u2v2, 1/(uv)) a g(x,y) = lnx + lny. Spočtěte obě parciální derivace funkce h(u,v) = g(f(u,v)).
e) (7b) Formulujte a dokažte větu o rovnosti smíšených parciálních derivací druhého řádu.
f) (6b) Najděte globální extrémy funkce f(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 15x - 12y na čtverci [-3,3]x[-3,3] . Určete, zda existují lokální extrémy uvnitř čtverce a zda jsou to minima nebo maxima.
3)
a) (4b) Nechť f a g jsou stejnosměrně spojité funkce definované na celém R . Rozhodněte o funkcích f+g a f.g, zda musí být stejnosměrně spojité. Dokažte, nebo uveďte protipříklady.
b) (7b) Formulujte a dokažte větu o spojitosti a stejnoměrné spojitosti na kompaktním intervalu.
c) (4b) Nechť id:R -> R je identické zobrazení (tj. f(x) = x pro každé x z R), d1 je obvyklá metrika na R (d1(x,y) = |x-y|) a ddisc je diskrétní metrika na R (ddisc(x,y) = 1 pokud x != y a ddisc(x,y) = 0 pokud x = y). Je idspojité zobrazení z (R, d1) do (R, ddisc)? Je id spojité zobrazení z (R, ddisc) do (R, d1)? Odpovědi zdůvodněte.
d) (3b) Uveďte příklad spojitého zobrazení z topologického prostoru ({a,b,c}, T1) do topologického prostoru ({A,B,C}, T2), kde T1 = {{}, {a}, {a,b}, {a,b,c}} a T2 = 2{A,B,C} (tj. T2 je množina všech podmnožin {A,B,C}).
[b]Délka zkoušky: 3h, Maximální počet bodů: 70[/b]
1)
a) ([i]3b[/i]) Definujte vícerozměrný Riemannův integrál a horní a dolní Riemannovu sumu.
b) ([i]5b[/i]) Pro které funkce platí s(f,P1) = S(f,P2) pro libovolná dělení P1 a P2 intervalu [a,b]? Pokud existují dělení P1 a P2 intervalu [a,b] splňující s(f,P1) = S(f, P2), co můžeme říct o integrovatelnosti funce? Zdůvodněte.
c) ([i]5b[/i]) Definujte množinu míry nula na R. Uveďte příklad nekonečné podmnožiny reálných čísel s mírou nula a dokažte to o ní.
d) ([i]4b[/i]) Platí, že sjednocení libovolně mnoha množin míry nula je množina míry nula? (Dokažte, nebo uveďte protipříklad)
e) ([i]2b[/i]) Formulujte Lebesgueovo kritérium integrovatelnosti.
f) ([i]4b[/i]) Spočtěte primitivní funkci k |x^2 - 6x + 8| + |x-2| na největších možných intervalech.
2)
a) ([i]5b[/i]) Definujte totální diferenciál. Pro f(x,y) = xy spočtěte Df(x,y)(h1,h2) obvyklou metodou a výsledek poté ověřte podle definice.
b) ([i]3b[/i]) Formulujte větu o implicitní funkci.
c) ([i]4b[/i]) Nechť f:R[sup]2[/sup] -> R[sup]2[/sup] je funkce dvou proměnných diferencovatelná v bodě (0,0) a jsou zadány její směrové derivace v bodě (0,0) ve směrech [b]u[/b] = (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) a [b]v[/b] = (1/2, sqrt(3)/2): [i]d[sub][b]u[/b][/sub][/i](0,0) = 1/sqrt(2) a [i]d[sub][b]v[/b][/sub][/i](0,0) = (2-sqrt(3))/2. Určete totální diferenciál Df(0,0).
d) ([i]4b[/i]) Jsou dány funkce f(u,v) = (u[sup]2[/sup]v[sup]2[/sup], 1/(uv)) a g(x,y) = lnx + lny. Spočtěte obě parciální derivace funkce h(u,v) = g(f(u,v)).
e) ([i]7b[/i]) Formulujte a dokažte větu o rovnosti smíšených parciálních derivací druhého řádu.
f) ([i]6b[/i]) Najděte globální extrémy funkce f(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 15x - 12y na čtverci [-3,3]x[-3,3] . Určete, zda existují lokální extrémy uvnitř čtverce a zda jsou to minima nebo maxima.
3)
a) ([i]4b[/i]) Nechť f a g jsou stejnosměrně spojité funkce definované na celém R . Rozhodněte o funkcích f+g a f.g, zda musí být stejnosměrně spojité. Dokažte, nebo uveďte protipříklady.
b) ([i]7b[/i]) Formulujte a dokažte větu o spojitosti a stejnoměrné spojitosti na kompaktním intervalu.
c) ([i]4b[/i]) Nechť [i]id[/i]:R -> R je identické zobrazení (tj. f(x) = x pro každé x z R), d[sub]1[/sub] je obvyklá metrika na R (d[sub]1[/sub](x,y) = |x-y|) a d[sub]disc[/sub] je diskrétní metrika na R (d[sub]disc[/sub](x,y) = 1 pokud x != y a d[sub]disc[/sub](x,y) = 0 pokud x = y). Je [i]id[/i]spojité zobrazení z (R, d[sub]1[/sub]) do (R, d[sub]disc[/sub])? Je [i]id[/i] spojité zobrazení z (R, d[sub]disc[/sub]) do (R, d[sub]1[/sub])? Odpovědi zdůvodněte.
d) ([i]3b[/i]) Uveďte příklad spojitého zobrazení z topologického prostoru ({a,b,c}, T[sub]1[/sub]) do topologického prostoru ({A,B,C}, T[sub]2[/sub]), kde T[sub]1[/sub] = {{}, {a}, {a,b}, {a,b,c}} a T[sub]2[/sub] = 2[sup]{A,B,C}[/sup] (tj. T[sub]2[/sub] je množina všech podmnožin {A,B,C}).