od jankasvk » 12. 6. 2015 16:41
Príklad 1 (6b)
Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie
f(x,y,z) = y.cos(z) - y^2 - x^2
na množine R^3. Určite globálne maximum a minimum (či existuje, kde
sa nadobúda a aká je jeho hodnota). Zdôvodnite.
Prílad 2 (6b)
a) Definujte Jacobiho maticu zobrazenia a Hessovu maticu funkcie viacerých premenných
b) Je daný bod a v R^m. Rozhodnite, či každá matica A s rozmerom n*m a reálnymi položkami je
Jacobiho maticou v bode a nejakého zobrazenia F z R^m do R^n.
Zdôvodnite.
Príklad 3 (6b)
a) Uveďte (bez dôkazu) výsledky o metrických prostorech: vlastnosti otvorených a uzatvorených množin.
b) Nechť A je množina reálnych čísel (pracujeme v euklidovskom priestore R s obvyklou metrikou),
ktorá nie je ani prázdna ani rovná celému R. Dokážte, že taká množina A nemôže byť súčasne otvorená
a uzavretá množina. Návod: Použite supremum.
Príklad 4 (6b)
Dokážte, že spojitá fukncia má na kompaktním intervalu [a,b] Riemannov integrál.
______________________________
Riešenia:
1)
stacionárne body [0,0,pi/2 + k*pi], [0,0,3pi/2 + k*pi], [0,0.5,0 + 2k*pi], [0,-0.5,pi + 2k*pi]
posledné dva sú globálnym maximom
Príklad 1 (6b)
Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie
f(x,y,z) = y.cos(z) - y^2 - x^2
na množine R^3. Určite globálne maximum a minimum (či existuje, kde
sa nadobúda a aká je jeho hodnota). Zdôvodnite.
Prílad 2 (6b)
a) Definujte Jacobiho maticu zobrazenia a Hessovu maticu funkcie viacerých premenných
b) Je daný bod a v R^m. Rozhodnite, či každá matica A s rozmerom n*m a reálnymi položkami je
Jacobiho maticou v bode a nejakého zobrazenia F z R^m do R^n.
Zdôvodnite.
Príklad 3 (6b)
a) Uveďte (bez dôkazu) výsledky o metrických prostorech: vlastnosti otvorených a uzatvorených množin.
b) Nechť A je množina reálnych čísel (pracujeme v euklidovskom priestore R s obvyklou metrikou),
ktorá nie je ani prázdna ani rovná celému R. Dokážte, že taká množina A nemôže byť súčasne otvorená
a uzavretá množina. Návod: Použite supremum.
Príklad 4 (6b)
Dokážte, že spojitá fukncia má na kompaktním intervalu [a,b] Riemannov integrál.
______________________________
Riešenia:
1)
stacionárne body [0,0,pi/2 + k*pi], [0,0,3pi/2 + k*pi], [0,0.5,0 + 2k*pi], [0,-0.5,pi + 2k*pi]
posledné dva sú globálnym maximom