od Sejsel » 11. 11. 2017 18:11
1.
Zformulujte a dokažte Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci [7 bodů]
Definujte pojem bilineární forma [1 bod]
2.
Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice [6 bodů]
[latex]A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & -3 & 4 \\0 & 4 & 3 \\\end{pmatrix}[/latex]
3.
Pro polynom [latex]p(x) = (x-1)^n[/latex]
[list=a]
[*]najděte matici společnici [latex]C_p[/latex] [2 body]
[*]najděte Jordanův normální tvar [latex]C_p[/latex] [2 body]
[*]najděte všechny vlastní vektory [latex]C_p[/latex] [2 body][/list]
4.
Rozhodněte a [u]zdůvodněte[/u], která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
[list=a]
[*]Matice projekce na přímku [latex]\text{span}(u)[/latex], kde [latex]u \in \mathbb{R}^n, ||u||_2 = 1[/latex], je rovna [latex]uu^T[/latex].
[*]Jsou-li matice [latex]A, B[/latex] podobné, pak [latex]\text{rank}(A) = \text{rank}(B)[/latex].
[*]Každou positivně definitní matici [latex]A[/latex] lze rozložit [latex]A = LL^T[/latex], kde [latex]L[/latex] je dolní trojúhelníková matice se zápornou diagonálou.
[*]Pro každou regulární matici [latex]A[/latex] platí [latex]\det(AA^TA^{-1}) = 1[/latex].[/list]